基本介紹

拉格朗日力學，分析力學中的一種,，由拉格朗日在1788年建立,，是對經(jīng)典力學的一種的新的數(shù)學表述。經(jīng)典力學,，最初的表述形式由牛頓建立,，它著重分析位移，速度,，加速度,，力等矢量間的關系,，又稱為矢量力學。拉格朗日引入了廣義坐標的概念,，運用達朗貝爾原理,，得到和牛頓第二定律等價的拉格朗日方程。但拉格朗日方程具有更普遍的意義,，適用范圍更廣泛,。并且，選取恰當?shù)膹V義坐標,，可以使拉格朗日方程的求解大大簡化,。

定義

拉格朗日力學是分析力學中的一種,，于1788年由約瑟夫·拉格朗日所創(chuàng)立,。拉格朗日力學是對經(jīng)典力學的一種的新的理論表述，著重于數(shù)學解析的方法,，是分析力學的重要組成部分,。

力學系統(tǒng)由一組坐標來描述。比如一個質點的運動（在笛卡爾坐標系中）由x,，y,，z三個坐標來描述。一般的,，N個質點組成的力學系統(tǒng)由3N個坐標來描述,。力學系統(tǒng)中常常存在著各種約束，使得這3N個坐標并不都是獨立的,。力學系統(tǒng)的獨立坐標的個數(shù)稱之為自由度,。對于N個質點組成的力學系統(tǒng)，若存在m個約束,，則系統(tǒng)的自由度為

S=3N?m

哈密爾頓量H可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到,。哈密爾頓量是經(jīng)典力學的另一種表述哈密爾頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態(tài)空間的切叢上的函數(shù),，而哈密爾頓量是相對應的余切叢上的函數(shù),。哈密爾頓量在量子力學中到處出現(xiàn)（參看哈密爾頓量(量子力學)）。

1948年,，費曼發(fā)明了路徑積分表述,，將最小作用原理擴展到量子力學。在該表述中,，粒子穿過所有可能的始態(tài)和終態(tài)的所有路徑,；特定終態(tài)的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經(jīng)典力學的范圍,，路徑積分表述簡單的退化為哈密爾頓原理,。

作者介紹

約瑟夫·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange,，1736~1813）全名為約瑟夫·路易斯·拉格朗日，法國著名數(shù)學家,、物理學家,。他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻,，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出,。

其他信息

坐標

在矢量力學中，約束的存在體現(xiàn)于作用于系統(tǒng)的約束力,。約束力引入額外的未知量,，通常使問題變得更為復雜。但若能選取適當?shù)膕個完全滿足約束條件的獨立坐標,，則約束不再出現(xiàn)于問題中,，只需要求解關于s個未知變量的方程，使問題得以大大簡化,。這樣的s個坐標不再局限于各質點的位置坐標,，而可以是任何能描述系統(tǒng)的幾何參量，因此稱為“廣義坐標”,。

假設

拉格朗日力學的一個基本假設是：具有n個自由度的系統(tǒng),，其運動狀態(tài)完全由n個廣義坐標及它們的微商（廣義速度）決定?；蛘哒f,，力學系統(tǒng)的運動狀態(tài)由一個廣義坐標和廣義速度的函數(shù)描述：

這個函數(shù)稱為拉格朗日函數(shù)或拉格朗日量。

拉格朗日方程

拉格朗日力學中,，運動方程由一個二階微分方程（拉格朗日方程）給出：

其中Q為所對應的非保守的廣義力,。 拉格朗日方程的地位等同于牛頓力學中的牛頓第二定律。但具有更普遍的意義,。

概念拓展

哈密頓量 可以通過對拉格朗日量進行勒讓德變換得到,。哈密頓量是經(jīng)典力學的另一種表述哈密頓力學的基礎。拉格朗日量可以視為定義在所有廣義坐標可能值組成的組態(tài)空間的切叢上的函數(shù),，而哈密頓量是相對應的余切叢上的函數(shù),。哈密頓量在量子力學中到處出現(xiàn)（參看哈密頓算符 (量子力學)）。

1948年,，費曼發(fā)明了路徑積分表述,，將最小作用量原理擴展到量子力學。在該表述中,，粒子穿過所有可能的始態(tài)和終態(tài)的所有路徑,；特定終態(tài)的概率是所有可能導向它的軌跡的概率之和。在經(jīng)典力學的范圍,，路徑積分表述簡單的退化為哈密頓原理,。