起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數(shù)學家于1826年出生在當時屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮(zhèn),。1859年,，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報,，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素數(shù)個數(shù)”的論文,。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個數(shù)學家們長期以來就很感興趣的問題,，即素數(shù)的分布,。素數(shù)又稱質(zhì)數(shù)。質(zhì)數(shù)是像2,、3,、5、7,、11,、13、17,、19那樣大于1且除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的自然數(shù),。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性，因為所有大于1的正整數(shù)都可以表示成它們的合。從某種意義上講,，它們在數(shù)論中的地位類似于物理世界中用以構(gòu)筑萬物的原子,。質(zhì)數(shù)的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常,，數(shù)學家們付出了極大的心力,，卻迄今仍未能徹底了解。

黎曼論文的一個重大的成果,，就是發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數(shù)之中,，尤其是使那個函數(shù)取值為零的一系列特殊的點對質(zhì)數(shù)分布的細致規(guī)律有著決定性的影響。那個函數(shù)如今被稱為黎曼ζ函數(shù),，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點,。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大,，文字卻極為簡練,，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方,。而要命的是,，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此,，他那些“證明從略”的地方有些花費了后世數(shù)學家們幾十年的努力才得以補全,，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外,，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題,，那個命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來,，已過了161個春秋，在這期間,，它就像一座巍峨的山峰,，吸引了無數(shù)數(shù)學家前去攀登，卻誰也沒能登頂,。

有人統(tǒng)計過,，在當今數(shù)學文獻中已有超過一千條數(shù)學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明,，所有那些數(shù)學命題就全都可以榮升為定理,；反之，如果黎曼猜想被否證,，則那些數(shù)學命題中起碼有一部分將成為陪葬,。

具體內(nèi)容

黎曼觀察到，素數(shù)的頻率緊密相關(guān)于一個精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài),。黎曼假設斷言,，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上,。這點已經(jīng)對于開始的1,500,000,000個解驗證過。

之所以要對這一表達式進行解析延拓,， 是因為這一表達式只適用于復平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區(qū)域 （否則級數(shù)不收斂）,。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒有使用 “解析延拓” 這樣的現(xiàn)代復變函數(shù)論術(shù)語）。運用路徑積分,，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：

這里我們采用的是歷史文獻中的記號,， 式中的積分實際是一個環(huán)繞正實軸進行的圍道積分（即從 ∞ 出發(fā)， 沿實軸上方積分至原點附近,， 環(huán)繞原點積分至實軸下方,， 再沿實軸下方積分至 ∞ ，而且離實軸的距離及環(huán)繞原點的半徑均趨于 0),，按照現(xiàn)代數(shù)學記號應記成：

從這個關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn),，黎曼ζ 函數(shù)在 s=-2n (n 為正整數(shù)） 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零。復平面上的這種使黎曼ζ 函數(shù)取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數(shù)的零點,。因此 s=-2n （n 為正整數(shù)）是黎曼ζ 函數(shù)的零點,。這些零點分布有序、 性質(zhì)簡單,， 被稱為黎曼ζ 函數(shù)的平凡零點 (trivial zero),。除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函數(shù)還有許多其它零點,， 它們的性質(zhì)遠比那些平凡零點來得復雜,， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于復平面上 Re(s)=1/2 的直線上,，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2,。

在黎曼猜想的研究中， 數(shù)學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line（臨界線）,。運用這一術(shù)語,，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點都位于 critical line 上。