起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數(shù)學(xué)家于1826年出生在當(dāng)時(shí)屬于漢諾威王國(guó)的名叫布列斯倫茨的小鎮(zhèn),。1859年,，黎曼被選為了柏林科學(xué)院的通信院士。作為對(duì)這一崇高榮譽(yù)的回報(bào),，他向柏林科學(xué)院提交了一篇題為“論小于給定數(shù)值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”的論文,。這篇只有短短八頁(yè)的論文就是黎曼猜想的“誕生地”,。

黎曼那篇論文所研究的是一個(gè)數(shù)學(xué)家們長(zhǎng)期以來(lái)就很感興趣的問(wèn)題，即素?cái)?shù)的分布,。素?cái)?shù)又稱(chēng)質(zhì)數(shù),。質(zhì)數(shù)是像2、3,、5,、7、11,、13,、17、19那樣大于1且除了1和自身以外不能被其他正整數(shù)整除的自然數(shù),。這些數(shù)在數(shù)論研究中有著極大的重要性,，因?yàn)樗写笥?的正整數(shù)都可以表示成它們的合。從某種意義上講,，它們?cè)跀?shù)論中的地位類(lèi)似于物理世界中用以構(gòu)筑萬(wàn)物的原子,。質(zhì)數(shù)的定義簡(jiǎn)單得可以在中學(xué)甚至小學(xué)課上進(jìn)行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常,，數(shù)學(xué)家們付出了極大的心力,，卻迄今仍未能徹底了解,。

黎曼論文的一個(gè)重大的成果,，就是發(fā)現(xiàn)了質(zhì)數(shù)分布的奧秘完全蘊(yùn)藏在一個(gè)特殊的函數(shù)之中，尤其是使那個(gè)函數(shù)取值為零的一系列特殊的點(diǎn)對(duì)質(zhì)數(shù)分布的細(xì)致規(guī)律有著決定性的影響,。那個(gè)函數(shù)如今被稱(chēng)為黎曼ζ函數(shù)，那一系列特殊的點(diǎn)則被稱(chēng)為黎曼ζ函數(shù)的非平凡零點(diǎn),。

有意思的是,，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡(jiǎn)練,，甚至簡(jiǎn)練得有些過(guò)分,，因?yàn)樗撕芏唷白C明從略”的地方,。而要命的是，“證明從略”原本是應(yīng)該用來(lái)省略那些顯而易見(jiàn)的證明的,，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費(fèi)了后世數(shù)學(xué)家們幾十年的努力才得以補(bǔ)全,，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數(shù)不少的“證明從略”之外,，卻引人注目地包含了一個(gè)他明確承認(rèn)了自己無(wú)法證明的命題,，那個(gè)命題就是黎曼猜想,。黎曼猜想自1859年“誕生”以來(lái)，已過(guò)了161個(gè)春秋，在這期間,，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無(wú)數(shù)數(shù)學(xué)家前去攀登,，卻誰(shuí)也沒(méi)能登頂,。

有人統(tǒng)計(jì)過(guò)，在當(dāng)今數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中已有超過(guò)一千條數(shù)學(xué)命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提,。如果黎曼猜想被證明,，所有那些數(shù)學(xué)命題就全都可以榮升為定理；反之,，如果黎曼猜想被否證,，則那些數(shù)學(xué)命題中起碼有一部分將成為陪葬。

具體內(nèi)容

黎曼觀察到,，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼zeta函數(shù)ζ(s)的性態(tài),。黎曼假設(shè)斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上,。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò),。

之所以要對(duì)這一表達(dá)式進(jìn)行解析延拓， 是因?yàn)檫@一表達(dá)式只適用于復(fù)平面上 s 的實(shí)部 Re(s) > 1 的區(qū)域 （否則級(jí)數(shù)不收斂）,。黎曼找到了這一表達(dá)式的解析延拓（當(dāng)然黎曼沒(méi)有使用 “解析延拓” 這樣的現(xiàn)代復(fù)變函數(shù)論術(shù)語(yǔ)）,。運(yùn)用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數(shù)可以表示為：

這里我們采用的是歷史文獻(xiàn)中的記號(hào),， 式中的積分實(shí)際是一個(gè)環(huán)繞正實(shí)軸進(jìn)行的圍道積分（即從 ∞ 出發(fā),， 沿實(shí)軸上方積分至原點(diǎn)附近,， 環(huán)繞原點(diǎn)積分至實(shí)軸下方， 再沿實(shí)軸下方積分至 ∞ ,，而且離實(shí)軸的距離及環(huán)繞原點(diǎn)的半徑均趨于 0),，按照現(xiàn)代數(shù)學(xué)記號(hào)應(yīng)記成：

從這個(gè)關(guān)系式中不難發(fā)現(xiàn)，黎曼ζ 函數(shù)在 s=-2n (n 為正整數(shù)） 取值為零 - 因?yàn)?sin(πs/2) 為零,。復(fù)平面上的這種使黎曼ζ 函數(shù)取值為零的點(diǎn)被稱(chēng)為黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn),。因此 s=-2n （n 為正整數(shù)）是黎曼ζ 函數(shù)的零點(diǎn)。這些零點(diǎn)分布有序,、 性質(zhì)簡(jiǎn)單,， 被稱(chēng)為黎曼ζ 函數(shù)的平凡零點(diǎn) (trivial zero)。除了這些平凡零點(diǎn)外,，黎曼ζ 函數(shù)還有許多其它零點(diǎn),， 它們的性質(zhì)遠(yuǎn)比那些平凡零點(diǎn)來(lái)得復(fù)雜， 被稱(chēng)為非平凡零點(diǎn) (non-trivial zeros),。

黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線上,，也即方程ζ(s)=0的解的實(shí)部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中,， 數(shù)學(xué)家們把復(fù)平面上 Re(s)=1/2 的直線稱(chēng)為 critical line（臨界線）,。運(yùn)用這一術(shù)語(yǔ)，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數(shù)的所有非平凡零點(diǎn)都位于 critical line 上,。