猜想陳述

給定一個整體域上的阿貝爾簇,，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數(shù)在1處的零點階數(shù)，且它的L函數(shù)在1處的泰勒展開的首項系數(shù)與莫代爾群的有限部分大小,、自由部分體積,、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關系。

前半部分通常稱為弱BSD猜想,。BSD猜想是分圓域的類數(shù)公式的推廣,。格羅斯提出了一個細化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對于motif的Bloch-Kato猜想,。

已知結(jié)果

BSD猜想的陳述依賴于莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點形成一個有限生成交換群,。精確的部分依賴于沙群的有限性猜想。

對于解析秩為0的情形,，Coates,，Wiles，Kolyvagin,，Rubin,，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2以外均成立,。

對于解析秩為1的情形,，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想,，并且精確的BSD猜想在2和導子以外均成立。

猜想的推論

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想,、西爾維斯特等很多猜想,。其中著名的是與同余數(shù)問題的關系，從BSD猜想可以推出模8余5,，6,，7的無平方因子的正整數(shù)一定可以成為某個有理邊長直角三角形的面積。