基本介紹

《周髀算經(jīng)》原名《周髀》，算經(jīng)的十書之一,，是中國(guó)最古老的天文學(xué)和數(shù)學(xué)著作,，約成書于公元前1世紀(jì)，主要闡明當(dāng)時(shí)的蓋天說(shuō)和四分歷法,。唐初規(guī)定它為國(guó)子監(jiān)明算科的教材之一,，故改名《周髀算經(jīng)》。

《周髀算經(jīng)》在數(shù)學(xué)上的主要成就是介紹了勾股定理（據(jù)說(shuō)原書沒(méi)有對(duì)勾股定理進(jìn)行證明,，其證明是三國(guó)時(shí)東吳人趙爽在《周髀注》一書的《勾股圓方圖注》中給出的）及其在測(cè)量上的應(yīng)用以及怎樣引用到天文計(jì)算,。）

《周髀算經(jīng)》的采用最簡(jiǎn)便可行的方法確定天文歷法，揭示日月星辰的運(yùn)行規(guī)律,，囊括四季更替,，氣候變化，包涵南北有極,，晝夜相推的道理,。給后來(lái)者生活作息提供有力的保障，自此以后歷代數(shù)學(xué)家無(wú)不以《周髀算經(jīng)》為參考,，在此基礎(chǔ)上不斷創(chuàng)新和發(fā)展,。

其他信息

年代

假設(shè)我們把《周髀算經(jīng)》的本文限定為商高與周公的問(wèn)答，似乎其成書年代也就不難斷定了?？墒?，乾嘉以后，考據(jù)之學(xué)興起,，疑古之風(fēng)日盛,，到了現(xiàn)代，幾乎所有的中外學(xué)者都不得不接受這樣的推斷：不僅商高是后人假托的,，甚至陳子也是后人虛構(gòu)出來(lái)的,。于是，僅僅把商高問(wèn)答看作《周髀算經(jīng)》本文就不再有任何意義了,。因此,，許多學(xué)者都將陳子問(wèn)答以后的文字作為《周髀算經(jīng)》全文的一個(gè)部分,，不再加以區(qū)分,。此一來(lái)，人們開(kāi)始根據(jù)《周髀算經(jīng)》中的內(nèi)容推斷它的成書年代,。

通常的方法可以分成兩類：天文學(xué)史專家,，喜歡利用現(xiàn)代天文學(xué)手段，根據(jù)《周髀算經(jīng)》中記錄的一些特殊的天文現(xiàn)象或數(shù)據(jù),，推算其應(yīng)該出現(xiàn)的年代,，并以此來(lái)確定其成書時(shí)代。例如,，日本學(xué)者能田忠亮便以《周髀算經(jīng)》中的北極星（北極璇璣）到北天極的距離．歸算出其成書年代大約在公元前5到7世紀(jì)之間,。

另一種方法則是根據(jù)《周髀算經(jīng)》涉及的一些內(nèi)容，與相對(duì)而言年代比較明確的其他歷史典籍的比較,，推斷其成書年代,。錢寶琮（1892年－1974年）在《周髀算經(jīng)考》中對(duì)《周髀算經(jīng)》的年代做出如下的考證：第一，《周髀算經(jīng)》主要分為兩個(gè)部分,，前為商高問(wèn)答,，后為陳子模型；第二,，由于懷疑商高是后人的偽托,，因此，認(rèn)為陳子以下的文字才是《周髀算經(jīng)》的主體,，通過(guò)與《淮南子·天文訓(xùn)》的比較,，從六個(gè)方面論述了陳子以下的文字成書在

公元前100年左右；第三,，“周髀”的意思以陳子之說(shuō)為準(zhǔn),，同時(shí)也提到其他一些解釋；第四，比較24氣名目及次序與《三統(tǒng)歷》之異同,，提到趙爽注稱原節(jié)氣長(zhǎng)度15日與《淮南子》的粗略記法類似,；第五，分?jǐn)?shù)算法的繁復(fù)與《九章算術(shù)》類似,。他的結(jié)論是,，《周髀算經(jīng)》成書在公元前100年左右。在疑古思潮的影響下,，還有一種傾向也值得人們的注意,，那就是以《周髀算經(jīng)》全書中所有內(nèi)容的下限來(lái)判定它的成書年代，古克禮（C．Cullen）大約可以算是這個(gè)方面的一個(gè)代表,。

古克禮認(rèn)為以前的學(xué)者大多錯(cuò)誤地企圖去發(fā)現(xiàn)《周髀算經(jīng)》作為一個(gè)整體完成的年代,，因此，它們的結(jié)論是在一種假象的幻覺(jué)中獲得的,。他認(rèn)為,，這部書是一些志同道合的研究者分別撰述的論文集。他的做法是,，首先,，調(diào)查《周髀算經(jīng)》的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，并將其劃分為不同的章節(jié),，討論節(jié)與節(jié)之間的關(guān)系,；其次，討論與各節(jié)內(nèi)容有關(guān)的外部世界的資料與活動(dòng),；第三,，探討可能產(chǎn)生與各節(jié)內(nèi)容相關(guān)的歷史環(huán)境。他將《周髀算經(jīng)》的整體編排打亂,，把它們劃分為外篇與內(nèi)篇兩個(gè)部分,。其中內(nèi)篇以陳子模型為主展開(kāi)，取其下限在公元1世紀(jì),。

在有關(guān)外部環(huán)境的討論中,，指出作為皇家的藏書目錄，班固（32－92年）編寫的《漢書·藝文志》中有《許商算術(shù)》與《杜忠算術(shù)》而無(wú)《周髀算經(jīng)》,；蓋天說(shuō)在公元l世紀(jì)已經(jīng)為人所熟知,，蔡邕在公元180年已經(jīng)明確將其列為中圈古代的三家宇宙論之一。結(jié)論是,，由于受到了渾天說(shuō)的影響,，《周髀算經(jīng)》的成書時(shí)間不可能早于公元前l(fā)世紀(jì)，但也不會(huì)晚于公元200年,。筆者以為,，判別中國(guó)古代科學(xué)典籍的完成年代，應(yīng)該以書中主要的科學(xué)思想或知識(shí)水平所反映的年代為判別標(biāo)準(zhǔn)，而不應(yīng)以書中夾雜的若干后代摻入的只言片語(yǔ)作為推斷的條件,。由于早期的科學(xué)典籍通常都是人類知識(shí)逐漸積累的結(jié)晶,，因此，搞清楚其中科學(xué)思想的萌生時(shí)期與流傳脈絡(luò),，也許比單純判定它的成書年代更有意義,。

科學(xué)史已經(jīng)反復(fù)地證明，今天看來(lái)是非常顯然的科學(xué)真理,，在人類認(rèn)識(shí)它的初期往往經(jīng)歷了長(zhǎng)期的懷疑,，甚至抵制。例如,，歲差現(xiàn)象在南北朝時(shí)期的存廢之爭(zhēng),，就是一個(gè)典型的事例。因此,，試圖通過(guò)以《周髀算經(jīng)》中的內(nèi)容的完整或正確性介于某兩個(gè)古代文獻(xiàn)之間,，就認(rèn)定其成書年代也必定介于兩者之間的方法，是靠不住的,。而利用一些重要數(shù)據(jù)的理論推算來(lái)判定其成書年代的方法,，許多時(shí)候也是不太可行的。有關(guān)《周髀算經(jīng)》成書年代的討論,，馮禮貴曾經(jīng)收集了14種不同的觀點(diǎn)。盡管在《周髀算經(jīng)》成書年代的判斷上有很大的區(qū)別,，但幾乎所有的研究者都有一個(gè)共識(shí),，那就是《周髀算經(jīng)》并不是成書于一人一時(shí)，它經(jīng)過(guò)了許多朝代的流傳進(jìn)化才得以完成我們所看到的篇幅與結(jié)構(gòu),。

章鴻釗曾經(jīng)明確地將《周髀算經(jīng)》的形成劃分為三個(gè)時(shí)期：第一期,，商高問(wèn)答；第二期,，陳子問(wèn)答,；第三期，陳子以后的文字,。這樣的劃分,，是許多人都默認(rèn)的一個(gè)事實(shí)。正如陳方正在總結(jié)前人對(duì)《周髀算經(jīng)》成書過(guò)程的討論時(shí)所說(shuō)：《周髀》不但不是個(gè)人的著作,，甚至也未必是單一性質(zhì)的著作,，而可能是由多個(gè)在不同歷史時(shí)期出現(xiàn)，相關(guān),、相類但并不相同的學(xué)說(shuō),、理論，逐漸累積而成。因此,，將《周髀算經(jīng)》單純視為表述蓋天說(shuō)的自洽體系,，而忽視它的層積性質(zhì)，是不甚恰當(dāng)?shù)?。筆者也贊同將《周髀算經(jīng)》的形成劃分為三個(gè)時(shí)期,。具體而言，上卷之一,，商高與周公的問(wèn)答,，應(yīng)該是《周髀算經(jīng)》的原始文字，它反映了早期的以商高為代表的中國(guó)古代數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)以及數(shù)學(xué)之為用的認(rèn)識(shí),。商高答周公問(wèn)企圖說(shuō)明的問(wèn)題是解決幾何測(cè)量學(xué)的數(shù)學(xué)方法,，這一點(diǎn)他做到了。這個(gè)方法包含勾股定理與用矩之道,。按照商高的說(shuō)法,，這些數(shù)學(xué)內(nèi)容在大禹治水的時(shí)候已經(jīng)具備，應(yīng)該是可信的,。第二個(gè)時(shí)期,，陳子模型的提出，其內(nèi)容為上卷之二陳子與容方的問(wèn)答,，這個(gè)部分大約在戰(zhàn)國(guó)時(shí)期已經(jīng)形成,。這個(gè)時(shí)期，陳子將商高的用矩之道進(jìn)一步發(fā)展成為測(cè)望日高的重差術(shù),。也是可以相信的,。陳子問(wèn)答中試圖解決的問(wèn)題是，利用影差原理與日高術(shù),，在商高的用矩之道的基礎(chǔ)上,，進(jìn)一步完善更加宏大的測(cè)天量地的理論與實(shí)踐。陳子模型的提出,，事實(shí)上是在向著這樣的目標(biāo)邁出了關(guān)鍵的一步：把商高的《周髀》轉(zhuǎn)化為蓋天說(shuō)的《周髀》,，把一部比較單純的數(shù)學(xué)著作轉(zhuǎn)化為一部純粹的數(shù)理天文學(xué)論著。

從上卷之三開(kāi)始,，是對(duì)蓋天說(shuō)理論的擴(kuò)張與完善,。首先是在陳子模型的基本假設(shè)下，建立七衡六間的宇宙模型,，并以術(shù)文的形式給出每日太陽(yáng)運(yùn)行軌道的計(jì)算方法,，使七衡圖成為一個(gè)可以操作的真正的活動(dòng)式星盤。在此基礎(chǔ)上,，進(jìn)一步引入新的天地形狀的模式,，給出了地理五帶的劃分,、寒暑成因的解釋、日出日落的方位,，并建立了蓋天說(shuō)的天體測(cè)量學(xué),，引入了去極度的概念，制作了比較完整的《四分歷》等等,。這些雖然大大地豐富了陳子模型的理論內(nèi)涵,，但同時(shí)也制造了蓋天說(shuō)系統(tǒng)內(nèi)部的一些無(wú)法完全自洽的矛盾，成為后世學(xué)者不斷批評(píng)的目標(biāo),。這個(gè)部分的形成,，意味著《周髀算經(jīng)》作為一部論述蓋天說(shuō)理論的專著的完成。從《周髀算經(jīng)》上卷之三開(kāi)始,，出現(xiàn)了大量的“術(shù)曰”,，這一點(diǎn)與商高問(wèn)答及陳子問(wèn)答的行文風(fēng)格形成明顯的反差，從一個(gè)側(cè)面反映出其形成時(shí)期應(yīng)該是比前兩個(gè)部分更加晚近的事實(shí),。

綜上所述,，《周髀算經(jīng)》的第一部分商高問(wèn)答，曾經(jīng)作為《周髀算經(jīng)》獨(dú)立的本文,，其完成時(shí)間應(yīng)該是在西周初期,，約公元前11世紀(jì)。陳子問(wèn)答中的數(shù)學(xué)理論與宇宙模型完成的時(shí)間,，大約在公元前4,、5世紀(jì)。作為一部闡釋蓋天說(shuō)理論的數(shù)理天文學(xué)著作,，《周髀算經(jīng)》從上卷之三開(kāi)始,，是對(duì)陳子模型的完善和擴(kuò)充，其中的一些基本數(shù)據(jù)與結(jié)構(gòu),，如七衡圖與去極度等，應(yīng)該是在陳子模型提出后就已經(jīng)確定了的,，但是,，陳子假設(shè)的平行平面的天地模型，則得到了一定的修正,，并且加入了一些新的東西,，如寒暑成因與歷法等內(nèi)容，總而言之,，《周髀算經(jīng)》第三部分的成型,，按照錢寶琮與劉朝陽(yáng)的考證，應(yīng)該不會(huì)晚于公元前100年,。

質(zhì)疑

根據(jù)《周髀算經(jīng)》原文中的明確交待,，以及在文獻(xiàn)中對(duì)幾個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題的詳細(xì)論證,，我們已經(jīng)知道《周髀算經(jīng)》中的蓋天宇宙有如下特征∶

一、大地與天為相距80,000里的平行圓形平面,。

二,、大地中央有高大柱形物（高60,000里的“璇璣”，其底面直徑為23,000里）,。

三,、該宇宙模型的構(gòu)造者在圓形大地上為自己的居息之處確定了位置，并且這位置不在中央而是偏南,。

四,、大地中央的柱形延伸至天處為北極。

五,、日月星辰在天上環(huán)繞北極作平面圓周運(yùn)動(dòng),。

六、太陽(yáng)在這種圓周運(yùn)動(dòng)中有著多重同心軌道,，并且以半年為周期作規(guī)律性的軌道遷移(一年往返一遍),。

七、太陽(yáng)的上述運(yùn)行模式可以在相當(dāng)程度上說(shuō)明晝夜成因和太陽(yáng)周年視運(yùn)動(dòng)中的一些天象,。

令人極為驚訝的是,，筆者發(fā)現(xiàn)上述七項(xiàng)特征竟與古代印度的宇宙模型全都吻合！這樣的現(xiàn)象恐非偶然,，值得加以注意和研究,。下面先報(bào)道筆者初步比較的結(jié)果，更深入的研究或當(dāng)俟諸異日,。

關(guān)于古代印度宇宙模型的記載,，主要保存在一些《往世書》（Puranas）中?！锻罆肥怯《冉痰氖サ?，同時(shí)又是古代史籍，帶有百科全書性質(zhì),。它們的確切成書年代難以判定,，但其中關(guān)于宇宙模式的一套概念，學(xué)者們相信可以追溯到吠陀時(shí)代----約公元前1000年之前,，因而是非常古老的,。《往世書》中的宇宙模式可以概述如下:

大地象平底的圓盤,，在大地中央聳立著巍峨的高山,，名為迷盧(Meru，也即漢譯佛經(jīng)中的“須彌山”,，或作Sumeru,，譯成“蘇迷盧”),。迷盧山外圍繞著環(huán)形陸地，此陸地又為環(huán)形大海所圍繞,，……如此遞相環(huán)繞向外延展,，共有七圈大陸和七圈海洋。

印度在迷盧山的南方,。

與大地平行的天上有著一系列天輪,，這些天輪的共同軸心就是迷盧山；迷盧山的頂端就是北極星(Dhruva)所在之處,，諸天輪攜帶著各種天體繞之旋轉(zhuǎn),；這些天體包括日、月,、恒星,、……以及五大行星----依次為水星、金星,、火星,、木星和土星。

利用迷盧山可以解釋黑夜與白晝的交替,。攜帶太陽(yáng)的天輪上有180條軌道,，太陽(yáng)每天遷移一軌，半年后反向重復(fù),，以此來(lái)描述日出方位角的周年變化,。……

又唐代釋道宣《釋迦方志》卷上也記述了古代印度的宇宙模型,，細(xì)節(jié)上恰可與上述記載相互補(bǔ)充∶

……蘇迷盧山,，即經(jīng)所謂須彌山也，在大海中,，據(jù)金輪表,，半出海上八萬(wàn)由旬，日月回薄于其腰也,。外有金山七重圍之,，中各海水，具八功德,。

根據(jù)這些記載，古代印度宇宙模型與《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型卻是有驚人的相似之處,，在細(xì)節(jié)上幾乎處處吻合∶

一,、兩者的天、地都是圓形的平行平面,；

二,、“璇璣”和“迷盧山”同樣扮演了大地中央的“天柱”角色,；

三、周地和印度都被置于各自宇宙中大地的南半部分,；

四,、“璇璣”和“迷盧上”的正上方都是各種天體旋轉(zhuǎn)的樞軸----北極；

五,、日月星辰在天上環(huán)繞北極作平面圓周運(yùn)動(dòng),。

六、如果說(shuō)印度迷盧山外的“七山七?！痹跀?shù)字上使人聯(lián)想到《周髀算經(jīng)》的“七衡六間”的話,，那么印度宇宙中太陽(yáng)天輪的180條軌道無(wú)論從性質(zhì)還是功能來(lái)說(shuō)都與七衡六間完全一致(太陽(yáng)在七衡之間的往返也是每天連續(xù)移動(dòng)的)。

七,、特別值得指出,，《周髀算經(jīng)》中天與地的距離是八萬(wàn)里，而迷盧山也是高出海上“八萬(wàn)由旬”,，其上即諸天輪所在,，是其天地距離恰好同為八萬(wàn)單位，難道純屬偶然?

在人類文明發(fā)展史上,，文化的多元自發(fā)生成是完全可能的,，因此許多不同文明中相似之處，也可能是偶然巧合,。但是《周髀算經(jīng)》的蓋天宇宙模型與古代印度宇宙模型之間的相似程度實(shí)在太高----從整個(gè)格局到許多細(xì)節(jié)都一一吻合,，如果仍用“偶然巧合”去解釋，無(wú)論如何總顯得過(guò)于勉強(qiáng),。

當(dāng)然,，如果我們就此立刻進(jìn)入關(guān)于“誰(shuí)源于誰(shuí)”的考據(jù)之中，那又將遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出本文的范圍,。

2寒暑五帶的知識(shí)來(lái)自何處?

《周髀算經(jīng)》中有相當(dāng)于現(xiàn)代人熟知的關(guān)于地球上寒暑五帶的知識(shí),。這是一個(gè)非常令人驚異的現(xiàn)象----因?yàn)檫@類知識(shí)是以往兩千年間，中國(guó)傳統(tǒng)天文學(xué)說(shuō)中所沒(méi)有,、而且不相信的,。

這些知識(shí)在《周髀算經(jīng)》中主要見(jiàn)于卷下第9節(jié)∶

極下不生萬(wàn)物，何以知之?……北極左右,，夏有不釋之冰,。

中衡去周七萬(wàn)五千五百里。中衡左右,，冬有不死之草,，夏長(zhǎng)之類。此陽(yáng)彰陰微,，故萬(wàn)物不死,，五谷一歲再熟,。

凡北極之左右，物有朝生暮獲,，冬生之類,。

這里需要先作一些說(shuō)明∶

上引第二則中，所謂“中衡左右”即趙爽注文中所認(rèn)為的“內(nèi)衡之外,，外衡之內(nèi)”,；這一區(qū)域正好對(duì)應(yīng)于地球寒暑五帶中的熱帶(南緯23°30′至北緯23°30′之間)----盡管《周髀算經(jīng)》中并無(wú)地球的觀念。

上引第三則中,，說(shuō)北極左右“物有朝生暮獲”,，這就必須聯(lián)系到《周髀算經(jīng)》蓋天宇宙模型對(duì)于極晝、極夜現(xiàn)象的演繹和描述能力,。據(jù)前所述,，圓形大地中央的“璇璣”之底面直徑為23,000里，則半徑為11,500里,，而《周髀算經(jīng)》所設(shè)定的太陽(yáng)光芒向其四周照射的極限距離是167,000里,；于是，由本文圖1清楚可見(jiàn),，每年從春分至秋分期間,，在“璇璣”范圍內(nèi)將出現(xiàn)極晝----晝夜始終在陽(yáng)光之下；而從秋分到春分期間則出現(xiàn)極夜----陽(yáng)光在此期間的任何時(shí)刻都照射不到“璇璣”范圍之內(nèi),。這也就是趙爽注文中所說(shuō)的“北極之下,，從春分至秋分為晝，從秋分至春分為夜”,，因?yàn)槭且园肽隇闀?、半年為夜?/p>

《周髀算經(jīng)》中上述關(guān)于寒暑五帶的知識(shí)，其準(zhǔn)確性是沒(méi)有疑問(wèn)的,。然而這些知識(shí)卻并不是以往兩千年間中國(guó)傳統(tǒng)天文學(xué)中的組成部分,。對(duì)于這一現(xiàn)象，可以從幾方面來(lái)加以討論,。

首先,，為《周髀算經(jīng)》作注的趙爽，竟然就表示不相信書中的這些知識(shí),。例如對(duì)于北極附近“夏有不釋之冰”,，趙爽注稱∶“冰凍不解，是以推之,，夏至之日外衡之下為冬矣,，萬(wàn)物當(dāng)死----此日遠(yuǎn)近為冬夏,非陰陽(yáng)之氣，爽或疑焉?！庇秩鐚?duì)于“冬有不死之草”、“陽(yáng)彰陰微”,、“五谷一歲再熟”的熱帶,，趙爽表示“此欲以內(nèi)衡之外、外衡之內(nèi),，常為夏也,。然其修廣，爽未之前聞”----他從未聽(tīng)說(shuō)過(guò),。我們從趙爽為《周髀算經(jīng)》全書所作的注釋來(lái)判斷,，他毫無(wú)疑問(wèn)是那個(gè)時(shí)代夠格的天文學(xué)家之一，為什么竟從未聽(tīng)說(shuō)過(guò)這些寒暑五帶知識(shí)?比較合理的解釋似乎只能是∶這些知識(shí)不是中國(guó)傳統(tǒng)天文學(xué)體系中的組成部分,，所以對(duì)于當(dāng)時(shí)大部分中國(guó)天文學(xué)家來(lái)說(shuō),，這些知識(shí)是新奇的、與舊有知識(shí)背景格格不入的,，因而也是難以置信的,。

其次，在古代中國(guó)居傳統(tǒng)地位的天文學(xué)說(shuō)----渾天說(shuō)中,，由于沒(méi)有正確的地球概念,，是不可能提出寒暑五帶之類的問(wèn)題來(lái)的。因此直到明朝末年,，來(lái)華的耶穌會(huì)傳教士在他們的中文著作中向中國(guó)讀者介紹寒暑五帶知識(shí)時(shí),，仍被中國(guó)人目為未之前聞的新奇學(xué)說(shuō)。正式這些耶穌會(huì)傳教士的中文著作才使中國(guó)學(xué)者接受了地球寒暑五帶之說(shuō),。而當(dāng)清朝初年“西學(xué)中源”說(shuō)甚囂塵上時(shí),，梅文鼎等人為寒暑五帶之說(shuō)尋找中國(guó)源頭，找到的正是《周髀算經(jīng)》----他們認(rèn)為是《周髀算經(jīng)》等中國(guó)學(xué)說(shuō)在上古時(shí)期傳入西方,，才教會(huì)了希臘人,、羅馬人和阿拉伯人掌握天文學(xué)知識(shí)的。

我們面臨一系列尖銳的問(wèn)題∶既然在渾天學(xué)說(shuō)中因沒(méi)有地球概念而不可能提出寒暑五帶的問(wèn)題,，那么《周髀算經(jīng)》中同樣沒(méi)有地球概念,，何以卻能記載這些知識(shí)?如果說(shuō)《周髀算經(jīng)》的作者身處北溫帶之中，只是根據(jù)越向北越冷,、越往南越熱,，就能推衍出北極“夏有不釋之冰”、熱帶“五谷一歲再熟”之類的現(xiàn)象,，那渾天家何以偏就不能?再說(shuō)趙爽為《周髀算經(jīng)》作注,，他總該是接受蓋天學(xué)說(shuō)之人，何以連他都對(duì)這些知識(shí)不能相信?這樣看來(lái)，有必要考慮這些知識(shí)來(lái)自異域的可能性,。

勾股定理

首先,，《周髀算經(jīng)》中明確記載了勾股定理的公式：“若求邪至日者，以日下為勾,，日高為股,，勾股各自乘，并而開(kāi)方除之,，得邪至日,。”（《周髀算經(jīng)》上卷二）

而勾股定理的證明呢,，就在《周髀算經(jīng)》上卷一——

昔者周公問(wèn)于商高曰：“竊聞乎大夫善數(shù)也,，請(qǐng)問(wèn)昔者包犧立周天歷度——夫天可不階而升，地不可得尺寸而度,，請(qǐng)問(wèn)數(shù)安從出,？”

商高曰：“數(shù)之法出于圓方，圓出于方,，方出于矩,，矩出于九九八十一。故折矩,，以為勾廣三,，股修四，徑隅五,。既方之,，外半其一矩，環(huán)而共盤,，得成三四五,。兩矩共長(zhǎng)二十有五，是謂積矩,。故禹之所以治天下者,，此數(shù)之所生也?！?/p>

周公對(duì)古代伏羲（庖犧）構(gòu)造周天歷度的事跡感到不可思議（天不可階而升,，地不可得尺寸而度），就請(qǐng)教商高數(shù)學(xué)知識(shí)從何而來(lái),。于是商高以勾股定理的證明為例,，解釋數(shù)學(xué)知識(shí)的由來(lái)?！皵?shù)之法出于圓方,，圓出于方,，方出于矩，矩出于九九八十一,?！苯忉尠l(fā)展脈絡(luò)——數(shù)之法出于圓（圓周率三）方（四方），圓出于方（圓形面積=外接正方形面積*圓周率/4）,，方出于矩（正方形源自兩邊相等的矩）,，矩出于九九八十一（長(zhǎng)乘寬面積計(jì)算依自九九乘法表）。

“故折矩①,，以為勾廣三，股修四,，徑隅五,。”開(kāi)始做圖——選擇一個(gè)勾三（圓周率三）,、股四（四方）的矩,，矩的兩條邊終點(diǎn)的連線應(yīng)為5（徑隅五）。

“②既方之,，外半其一矩,，環(huán)而共盤，得成三四五,?！边@就是關(guān)鍵的證明過(guò)程——以矩的兩條邊畫正方形（勾方、股方）,，根據(jù)矩的弦外面再畫一個(gè)矩（曲尺,，實(shí)際上用作直角三角形），將“外半其一矩”得到的三角形剪下環(huán)繞復(fù)制形成一個(gè)大正方形,，可看到其中有邊長(zhǎng)三勾方,、邊長(zhǎng)四股方、邊長(zhǎng)五弦方三個(gè)正方形,。

“兩矩共長(zhǎng)③二十有五,，是謂積矩?！贝藶轵?yàn)算——勾方,、股方的面積之和，與弦方的面積二十五相等——從圖形上來(lái)看,，大正方形減去四個(gè)三角形面積后為弦方,，再是大正方形減去右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積后為勾方股方之和,。因三角形為長(zhǎng)方形面積的一半,，可推出四個(gè)三角形面積等于右上、左下兩個(gè)長(zhǎng)方形面積，所以勾方+股方=弦方,。

注意：①矩,，又稱曲尺，L型的木匠工具,，由長(zhǎng)短兩根木條組成的直角,。古代“矩”指L型曲尺，“矩形”才是“矩”衍生的長(zhǎng)方形,。

②“既方之,，外半其一矩”此句有爭(zhēng)議。清代四庫(kù)全書版定為“既方其外半之一矩”,，而之前版本多為“既方之外半其一矩”,。經(jīng)陳良佐、李國(guó)偉,、李繼閔,、曲安京等學(xué)者研究，“既方之,，外半其一矩”更符合邏輯,。

③長(zhǎng)指的是面積。古代對(duì)不同維度的量綱比較,，并沒(méi)有發(fā)明新的術(shù)語(yǔ),，而統(tǒng)稱“長(zhǎng)”。趙爽注稱：“兩矩者,，句股各自乘之實(shí),。共長(zhǎng)者，并實(shí)之?dāng)?shù),。

由于年代久遠(yuǎn),，周公弦圖失傳，傳世版本只印了趙爽弦圖（造紙術(shù)在漢代才發(fā)明）,。所以某些學(xué)者誤以為商高沒(méi)有證明（只是說(shuō)了一段莫名其妙的話）,，后來(lái)趙爽才給出證明。其實(shí)不然,，摘錄趙爽注釋《周髀算經(jīng)》時(shí)所做的《勾股圓方圖》——“句股各自乘,，并之為弦實(shí)，開(kāi)方除之即弦,。案：弦圖又可以句股相乘為朱實(shí)二,，倍之為朱實(shí)四，以句股之差自相乘為中黃實(shí),，加差實(shí)亦成弦實(shí),。