開普勒定律

①橢圓定律：所有行星繞太陽的軌道都是橢圓,，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,。

②面積定律：行星和太陽的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過的面積相等。

③調(diào)和定律：所有行星繞太陽一周的恒星時(shí)間()的平方與它們軌道半長軸(ai)的立方成比例,，即,。

此后，學(xué)者們把第一定律修改成為：所有行星（和彗星）的軌道都屬于圓錐曲線,，而太陽則在它們的一個(gè)焦點(diǎn)上,。第二定律只在行星質(zhì)量比太陽質(zhì)量小得多的情況下才是精確的。如果考慮到行星也吸引太陽,，這便是一個(gè)二體問題,。經(jīng)過修正后的第三定律的精確公式為：（式中m1和m2為兩個(gè)行星的質(zhì)量；ma為太陽的質(zhì)量）,。

數(shù)學(xué)推導(dǎo)

開普勒定律是關(guān)于行星環(huán)繞太陽的運(yùn)動(dòng),，而牛頓定律更廣義的是關(guān)于幾個(gè)粒子因萬有引力相互吸引而產(chǎn)生的運(yùn)動(dòng)。在只有兩個(gè)粒子,，其中一個(gè)粒子超輕于另外一個(gè)粒子,，這些特別狀況下，輕的粒子會(huì)環(huán)繞重的粒子移動(dòng),，就好似行星根據(jù)開普勒定律環(huán)繞太陽的移動(dòng),。然而牛頓定律還容許其它解答,，行星軌道可以呈拋物線運(yùn)動(dòng)或雙曲線運(yùn)動(dòng)。這是開普勒定律無法預(yù)測到的,。在一個(gè)粒子并不超輕于另外一個(gè)粒子的狀況下,，依照廣義二體問題的解答，每一個(gè)粒子環(huán)繞它們的共同質(zhì)心移動(dòng),。這也是開普勒定律無法預(yù)測到的,。

開普勒定律，或者是用幾何語言,，或者是用方程,，將行星的坐標(biāo)及時(shí)間跟軌道參數(shù)相連結(jié)。牛頓第二定律是一個(gè)微分方程,。開普勒定律的導(dǎo)引涉及解微分方程的藝術(shù),。我們會(huì)先導(dǎo)引開普勒第二定律，因?yàn)殚_普勒第一定律的導(dǎo)引必須建立于開普勒第二定律,。

數(shù)學(xué)證明

第一定律的證明

設(shè)定

這樣,，角速度是

對時(shí)間微分和對角度微分有如下關(guān)系：

根據(jù)上述關(guān)系，徑向距離 對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為：

再求一次導(dǎo)數(shù)：

代入徑向運(yùn)動(dòng)方程 ,，

將此方程除以 ,，則可得到一個(gè)簡單的常系數(shù)非齊次線性全微分方程來描述行星軌道：

為了解這個(gè)微分方程，先列出一個(gè)特解

再求解剩余的常系數(shù)齊次線性全微分方程,，

它的解為

這里,， 與 是常數(shù)。合并特解和與齊次方程解,，可以得到通解

選擇坐標(biāo)軸,，讓 。代回 ,，

其中， 是離心率,。

這是圓錐曲線的極坐標(biāo)方程,，坐標(biāo)系的原點(diǎn)是圓錐曲線的焦點(diǎn)之一。假若 ,，則 所描述的是橢圓軌道,。這證明了開普勒第一定律。

第二定律的證明

開普勒第二定律是這么說的：在相等的時(shí)間內(nèi),，行星與恒星的連線掃過的面積相等,。O為恒星，直線AC為行星不受引力時(shí)的軌跡,。設(shè)行星從A到B,、從B到C所用的時(shí)間間隔Δt相等,，A處的時(shí)刻為t1，B為t2,，C為t3,。假設(shè)行星不受O的引力作用，那么這時(shí)掃過的面積SΔABO和SΔBCO相等（等底同高）,。行星受到引力作用了,，因?yàn)橐Φ姆较驎r(shí)刻指向恒星，所以在從t1到t3這段

時(shí)間里,，行星所受的引力的方向的總效果應(yīng)該沿著BO方向（這需要一點(diǎn)向量的知識(shí)）,。因此，t3時(shí)刻行星的位置C’應(yīng)該由兩個(gè)向量相加而得到：向量AC 向量CC’（作CC’平行于BO,，因此沿BO方向的向量等價(jià)于CC’）,。這樣，SΔBCO=SΔBC’O(同底等高),。因此,，SΔBC’O=SΔABO。因?yàn)棣是任取的,，所以在相等的時(shí)間內(nèi),，行星與恒星的連線掃過的面積相等。

第三定律的證明

在圖中,，A,，B分別為行星運(yùn)動(dòng)的近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)，以 和 分別表示行星在該點(diǎn)的速度,，由于速度沿軌道切線方向,，可見 和 的方向均與此橢圓的長軸垂直，則行星在此兩點(diǎn)時(shí)對應(yīng)的面積速度分別為

……………………………………{1}

根據(jù)開普勒第二定律,，應(yīng)有 ,，因此得

……………………………………………{2}

行星運(yùn)動(dòng)的總機(jī)械能E等于其動(dòng)能與勢能之和，則當(dāng)他經(jīng)過近日點(diǎn)和遠(yuǎn)日點(diǎn)時(shí),，其機(jī)械能應(yīng)分別為

…………{3}

根據(jù)機(jī)械能守恒,，應(yīng)有 ，故得

……………………{4}

由{2}{4}兩式可解得

………………………………{5}

由{5}式和{1}式得面積速度為

橢圓的面積為 ,則得此行星運(yùn)動(dòng)周期為

…………………………{6}

將{6}式兩邊平方,，便得

注： 是半長軸,， 是半短軸， 是半焦距

適用范圍

開普勒第二定律

開普勒定律適用于宇宙中一切繞心的天體運(yùn)動(dòng),。在宏觀低速天體運(yùn)動(dòng)領(lǐng)域具有普遍意義,。對于高速的天體運(yùn)動(dòng)，開普勒定律提供了其回歸低速狀態(tài)的方程,。

也就是說,，開普勒第二定律及其引出的推論,，不僅適用繞太陽運(yùn)轉(zhuǎn)的所有行星，也適用于以行星為中心的衛(wèi)星,，還適用于單顆行星或衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)行的情況,。

僅適用于宏觀低速運(yùn)動(dòng)的天體。提出的時(shí)候并沒有給出嚴(yán)格的證明,，但是為后來許多定律的證明奠定了基礎(chǔ),。

開普勒第三定律

開普勒定律是一個(gè)普適定律，適用于一切二體問題,。開普勒定律不僅適用于太陽系,，他對具有中心天體的引力系統(tǒng)（如行星-衛(wèi)星系統(tǒng)）和雙星系統(tǒng)都成立。圍繞同一個(gè)中心天體運(yùn)動(dòng)的幾個(gè)天體,，它們軌道半徑三次方與周期的平方的比值（R^3/T^2）都相等,，為（GM/4π^2），為中心天體質(zhì)量,。這個(gè)比值是一個(gè)與行星無關(guān)的常量,，只與中心體質(zhì)量有關(guān)，那么M相同是這個(gè)比值相同,。

發(fā)展簡史

發(fā)現(xiàn)背景

開普勒定律是開普勒發(fā)現(xiàn)的關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的定律,。他于1609年在他出版的《新天文學(xué)》上發(fā)表了關(guān)于行星運(yùn)動(dòng)的兩條定律，又于1618年,，發(fā)現(xiàn)了第三條定律,。 開普勒很幸運(yùn)地能夠得到著名丹麥天文學(xué)家第谷·布拉赫20多年所觀察與收集的非常精確的天文資料。大約于1605年,，根據(jù)布拉赫的行星位置資料,，沿用哥白尼的勻速圓周運(yùn)動(dòng)理論，通過4年的計(jì)算發(fā)現(xiàn)第谷觀測到的數(shù)據(jù)與計(jì)算有8’的誤差,，開普勒堅(jiān)信第谷的數(shù)據(jù)是正確的,，從而他對“完美”的神運(yùn)動(dòng)（勻速圓周運(yùn)動(dòng)）發(fā)起質(zhì)疑，經(jīng)過近6年的大量計(jì)算,，開普勒得出了第一定律和第二定律,，又經(jīng)過10年的大量計(jì)算，得出了第三定律,。開普勒的定律給予亞里士多德派與托勒密派在天文學(xué)與物理學(xué)上極大的挑戰(zhàn)。他主張地球是不斷地移動(dòng)的,；行星軌道不是周轉(zhuǎn)圓（epicycle）的,，而是橢圓形的；行星公轉(zhuǎn)的速度不等恒,。這些論點(diǎn),，大大地動(dòng)搖了當(dāng)時(shí)的天文學(xué)與物理學(xué),。經(jīng)過了幾乎一世紀(jì)披星戴月，廢寢忘食的研究,，物理學(xué)家終于能夠用物理理論解釋其中的道理,。牛頓利用他的第二定律和萬有引力定律，在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格地證明開普勒定律,，也讓人們了解其中的物理意義,。

行星軌道

太陽是宇宙的中心，地球和其他行星一樣繞太陽公轉(zhuǎn),，16世紀(jì)天文學(xué)家哥白尼以其大膽的洞察力,，提出了太陽系這一引領(lǐng)時(shí)代的全新理論，從而帶來了一場科技革命,。但是直到半個(gè)世紀(jì)后,，德國數(shù)學(xué)家開普勒利用丹麥天文學(xué)家布第谷·布拉赫提供的觀察數(shù)據(jù)，才繪制出了第一張精確的太陽系地圖,。開普勒的辛勞鞏固了哥白尼的理論,。他孤軍奮戰(zhàn)，終于用第谷·布拉赫的觀察數(shù)據(jù),，準(zhǔn)確闡述了行星的運(yùn)動(dòng),。在有生之年，他的成就沒有得到承認(rèn),，但他的洞察力仍然是現(xiàn)代宇宙理論的基礎(chǔ),。

開普勒

開普勒（JohannesKepler，1571-1630）,，德國天文學(xué)家,。開普勒于1571年12月27日出生在一個(gè)德國小市民家庭。他一來到人世間就遭到了許多不幸,，天花使他成了麻子,，猩紅熱弄壞了他的雙眼。

17歲那年,，開普勒進(jìn)入了連蒂賓根大學(xué)學(xué)習(xí),，攻讀神學(xué)，1591年他獲得了神學(xué)碩士學(xué)位,。但因父親負(fù)債累累,，使他不得不中途退學(xué)。由于他體弱多病,，他的父母認(rèn)為他只適合做一名牧師,，因?yàn)檫@個(gè)職業(yè)輕松一些?？墒情_普勒的數(shù)學(xué)才華非常出眾,，當(dāng)他了解到一些有關(guān)自然科學(xué)的理論之后,，就把當(dāng)牧師的想法拋得一干二凈，終于在奧地利的一所大學(xué)里教了自然科學(xué),。

1600年,，30歲的開普勒貿(mào)然給素不相識(shí)的丹麥天文學(xué)家第谷寫信。他把自己研究天文學(xué)的成果和想法告訴了第谷,。第谷看后,，對開普勒的才華驚嘆不已，立即寫信邀請他來當(dāng)自己的助手,。但是開普勒來到第谷的身邊僅10個(gè)月,，老人便去世了。開普勒繼承了這位老人留下的非常寶貴的資料,，其中包括老人對火星運(yùn)動(dòng)的觀測,。

開普勒利用第谷多年積累的觀測資料，仔細(xì)分析研究,，發(fā)現(xiàn)了行星沿橢圓軌道運(yùn)行,，并且提出行星運(yùn)動(dòng)三定律（即開普勒定律），為牛頓發(fā)現(xiàn)萬有引力定律打下了基礎(chǔ),。

在第谷的工作基礎(chǔ)上,，開普勒經(jīng)過大量的計(jì)算，編制成《魯?shù)婪蛐潜怼?，表中列出?005顆恒星的位置,。這個(gè)星表比其他星表要精確得多，因此直到十八世紀(jì)中葉,，《魯?shù)婪蛐潜怼啡匀槐惶煳膶W(xué)家和航海家們視為珍寶,，它的形式幾乎沒有改變地保留到今天。

開普勒主要著作有《宇宙的神秘》,、《光學(xué)》、《宇宙和諧論》,、《哥白尼天文學(xué)概要》、《彗星論》和《稀奇的1631年天象》等,。其中,，在《宇宙和諧論》中,，開普勒找到了最簡單的世界體系，只需7個(gè)橢圓就可以描述天體運(yùn)動(dòng)的體系了,；在《彗星論》中,，他指出彗星的尾巴總是背著太陽，是因?yàn)樘柵懦忮珙^的物質(zhì)造成的，這是距今半個(gè)世紀(jì)以前對輻射壓力存在的正確預(yù)言；此外,，開普勒還發(fā)現(xiàn)了大氣折射的近似定律,。為了紀(jì)念開普勒的功績，國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)決定將1134號小行星命名為開普勒小行星,。

發(fā)現(xiàn)過程

1601年,，第谷逝世。約翰·開普勒接替了第谷的工作，開始編制魯?shù)婪蛐潜?。但開普勒的興趣和注意力卻更多的放在改進(jìn)和完善哥白尼的日心說上,，在探討行星軌道性質(zhì)的研究上。他發(fā)現(xiàn)第谷的觀測數(shù)據(jù)，與哥白尼體系,、托勒密體系都不符合,。他決心尋找這種不一致的原因和行星運(yùn)行的真實(shí)軌道。

最初的研究從觀測與理論差異突出的火星著手,。他運(yùn)用傳統(tǒng)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)加偏心圓來計(jì)算,，均遭到失敗,。經(jīng)過長達(dá)4年近70次各種行星軌道形狀設(shè)計(jì)方案的計(jì)算,，開普勒認(rèn)識(shí)到哥白尼體系的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和偏心圓的軌道模式與火星的實(shí)際運(yùn)動(dòng)軌道不符,。于是他大膽的拋棄了統(tǒng)治人類思想達(dá)2000年之久的“勻速圓周運(yùn)動(dòng)”偏見，嘗試用別的幾何曲線來表示火星軌道的形狀,。他認(rèn)為行星運(yùn)動(dòng)軌道的焦點(diǎn)應(yīng)該在產(chǎn)生引力中心的太陽上,，并進(jìn)而斷定火星運(yùn)動(dòng)的線速度不是勻速的，近太陽時(shí)快些,，遠(yuǎn)太陽時(shí)慢些并得出結(jié)論：太陽至火星的直徑在一天內(nèi)掃過的面積是相等的,。開普勒把這結(jié)論推廣到其他行星上，結(jié)果也是與觀測數(shù)據(jù)相符,。就這樣,，他首先得到了行星運(yùn)行的等面積定律。隨后他發(fā)現(xiàn)火星運(yùn)行的軌道不是正圓,，而是焦點(diǎn)位于太陽上的橢圓,，他把這結(jié)論應(yīng)用于其他行星也是適用的。于是他又得到了行星運(yùn)行的橢圓軌道定律,。這兩條定律發(fā)表在他1609年出版的《新天文學(xué)》一書上,。但他對自已取得的成就還不滿足。他渴望找到一種能適合所有行星的總體模式,，把各行星聯(lián)系在一起,。他堅(jiān)信存在著一個(gè)把全體行星完整地聯(lián)系在一起的簡單法則,。

在這個(gè)信念鼓舞下,，開普勒忍受著個(gè)人在家庭方面遭受的巨大不幸,，在很少有人了解和支持的困難條件下,，經(jīng)過九年的反復(fù)計(jì)算和假設(shè),，終于在1618年找到在大量觀測數(shù)據(jù)后面隱匿的數(shù)的和諧性：行星公轉(zhuǎn)周期的平方與它們到太陽的平均距離的立方成正比。這就是周期定律。1619年，他在《宇宙的和諧》一書中介紹了第三定律，他情不自禁地寫道："認(rèn)識(shí)到這一真理,，這是超出我的最美好的期望的,。大局已定,，這本書是寫出來了,，可能當(dāng)代有人閱讀,，也可能是供后人閱讀的。它很可能要等一個(gè)世紀(jì)才有信奉者一樣,，這一點(diǎn)我不管了,。"

開普勒的三定律是天文學(xué)的又一次革命,，它徹底摧毀了托勒密繁雜的本輪宇宙體系,，完善和簡化了哥白尼的日心宇宙體系。開普勒對天文學(xué)最大的貢獻(xiàn)在于他試圖建立天體動(dòng)力學(xué),，從物理基礎(chǔ)上解釋太陽系結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)原因,。雖然他提出有關(guān)太陽發(fā)出的磁力驅(qū)使行星作軌道運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的。但它對后人尋找出太陽系結(jié)構(gòu)的奧秘具有重大的啟發(fā)意義，為經(jīng)典力學(xué)的建立,、牛頓的萬有引力定律的發(fā)現(xiàn),，都作出重要的提示。

被稱為“星子之王”的第谷·布拉赫在天體觀測方面獲得不少成就,，死后留下20多年的觀測資料和一份精密星表,。他的助手開普勒利用了這些觀測資料和星表，進(jìn)行新星表編制,。然而工作伊始便遇到了困難,，按照正圓軌道來編制火星運(yùn)行表一直行不通，火星這個(gè)“狡猾家伙”總不聽指揮,，老愛越軌,。經(jīng)過一次次分析計(jì)算，開普勒發(fā)現(xiàn),，如果火星軌道不是正圓,，而是橢圓，那么矛盾不就煙消云散了嗎,。經(jīng)過長期細(xì)致而復(fù)雜計(jì)算以后,，他終于發(fā)現(xiàn)：行星在通過太陽的平面內(nèi)沿橢圓軌道運(yùn)行，太陽位于橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,。這就是行星運(yùn)動(dòng)第一定律,，又叫“軌道定律”。

當(dāng)開普勒繼續(xù)研究時(shí),，“詭譎多端”的火星又將他騙了,。原來，開普勒和前人都把行星運(yùn)動(dòng)當(dāng)作等速來研究的,。他按照這一方法苦苦計(jì)算了1年,，卻仍得不到結(jié)果。后來他發(fā)現(xiàn),，在橢圓軌道上運(yùn)行的行星速度不是常數(shù)，而是在相等時(shí)間內(nèi),，行星與太陽的連線所掃過的面積相等,。這就是行星運(yùn)動(dòng)第二定律，又叫“面積定律”,。

開普勒又經(jīng)過9年努力,，找到了行星運(yùn)動(dòng)第三定律：太陽系內(nèi)所有行星公轉(zhuǎn)周期的平方同行星軌道半長徑的立方之比為一常數(shù)，這一定律也叫“調(diào)和定律”,。

定律影響

首先,，開普勒定律在科學(xué)思想上表現(xiàn)出無比勇敢的創(chuàng)造精神。遠(yuǎn)在哥白尼創(chuàng)立日心宇宙體系之前,，許多學(xué)者對于天動(dòng)地靜的觀念就提出過不同見解,。但對天體遵循完美的均勻圓周運(yùn)動(dòng)這一觀念,，從未有人敢懷疑。開普勒卻毅然否定了它,。這是個(gè)非常大膽的創(chuàng)見,。哥白尼知道幾個(gè)圓合并起來就可以產(chǎn)生橢圓，但他從來沒有用橢圓來描述過天體的軌道,。正如開普勒所說,，“哥白尼沒有覺察到他伸手可得的財(cái)富”。

其次,，開普勒定律徹底摧毀了托勒密的本輪系,，把哥白尼體系從本輪的桎梏下解放出來，為它帶來充分的完整和嚴(yán)謹(jǐn),。哥白尼拋棄古希臘人的一個(gè)先入之見,，即天與地的本質(zhì)差別，獲得一個(gè)簡單得多的體系,。但它仍須用三十幾個(gè)圓周來解釋天體的表觀運(yùn)動(dòng),。開普勒卻找到最簡單的世界體系，只用七個(gè)橢圓說就全部解決了,。從此,，不須再借助任何本輪和偏心圓就能簡單而精確地推算行星的運(yùn)動(dòng)。

第三,，開普勒定律使人們對行星運(yùn)動(dòng)的認(rèn)識(shí)得到明晰概念,。它證明行星世界是一個(gè)勻稱的（即開普勒所說的“和諧”）系統(tǒng)。這個(gè)系統(tǒng)的中心天體是太陽,，受來自太陽的某種統(tǒng)一力量所支配,。太陽位于每個(gè)行星軌道的焦點(diǎn)之一。行星公轉(zhuǎn)周期決定于各個(gè)行星與太陽的距離,，與質(zhì)量無關(guān),。而在哥白尼體系中，太陽雖然居于宇宙“中心”,，卻并不扮演這個(gè)角色,，因?yàn)闆]有一個(gè)行星的軌道中心是同太陽相重合的。

由于利用前人進(jìn)行的科學(xué)實(shí)驗(yàn)和記錄下來的數(shù)據(jù)而作出科學(xué)發(fā)現(xiàn),，在科學(xué)史上是不少的,。但像行星運(yùn)動(dòng)定律的發(fā)現(xiàn)那樣，從第谷的20余年辛勤觀測到開普勒長期的精心推算,，道路如此艱難,，成果如此輝煌的科學(xué)合作，則是罕見的。這一切都是在沒有望遠(yuǎn)鏡的條件下得到的,！