公元前5世紀(jì),，芝諾發(fā)表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1000米處開始,，和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜?shù)?0倍,。當(dāng)比賽開始后,，若阿基里斯跑了1000米，設(shè)所用的時間為t,，此時烏龜便領(lǐng)先他100米,；當(dāng)阿基里斯跑完下一個100米時，他所用的時間為t/10,，烏龜仍然前于他10米,；當(dāng)阿基里斯跑完下一個10米時，他所用的時間為t/100，烏龜仍然前于他1米……芝諾認(rèn)為,，阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜,，但決不可能追上它。

悖論解釋

關(guān)于阿基里斯悖論的一個解釋是：阿基里斯的確永遠(yuǎn)也追不上烏龜,。雖然現(xiàn)實中我們知道阿基里斯超越烏龜非常簡單,，但是它是如何超過烏龜?shù)脑谶^去卻一直存在爭論。

現(xiàn)代物理學(xué)已經(jīng)證明了時間和空間不是可以無限分割的,，所以總有最為微小的一個時間里,，阿基里斯和烏龜共同前進(jìn)了一個空間單位，從此阿基里斯順利超過烏龜,。

產(chǎn)生原因

芝諾悖論的產(chǎn)生原因,，是在于“芝諾時”不可能度量阿基里斯追上烏龜后的現(xiàn)象。在芝諾時達(dá)到無限后,，正常計時仍可以進(jìn)行,，只不過芝諾的“鐘”已經(jīng)無法度量它們了。這個悖論實際上是反映時空并不是無限可分的,，運動也不是連續(xù)的,。

通俗一點講，我們都知道一條線是由無數(shù)個點組成的,，但這個“無數(shù)個點”并不能說我們無法畫出一條線,。也就是說就是芝諾偷換了概念，（1 0.1 0.01 ……）t其實是一個有限的時間,，但他認(rèn)為這個時間是無限大的,，只要時間超過（1 0.1 0.01 ……）t阿基里斯就追上了烏龜。

哲學(xué)辨析

阿基里斯悖論分離了運動與靜止,，夸大了相對靜止,，而否認(rèn)了絕對運動，是形而上學(xué)說,。

黑格爾在《小邏輯》中說：“辯證法切不可與單純的詭辯相混淆,。詭辯的本質(zhì)在于孤立起來看事物，把本身片面的,、抽象的規(guī)定,，認(rèn)為是可靠的?！鞭q證唯物主義認(rèn)為,，運動與靜止是對立統(tǒng)一的辯證關(guān)系。

一方面,，運動與靜止的對立表現(xiàn)在：運動是絕對的,，靜止是相對的,，二者相互區(qū)別，不可混淆,。所謂運動是絕對的是說,，運動是物質(zhì)的根本屬性，任何事物在任何條件下都是永恒運動的,，是無條件的,。所謂靜止是相對的是說，靜止是運動在特定條件下的特殊狀態(tài),，是有條件的,。

另一方面，運動與靜止的統(tǒng)一表現(xiàn)在：運動和靜止是相互依存,、相互貫通的，即所謂動中有靜,、靜中有動,。在運動與靜止關(guān)系上有兩種形而上學(xué)的錯誤：一種是割裂運動與靜止的關(guān)系，否認(rèn)運動,，只講靜止,，將靜止絕對化的形而上學(xué)不動論；一種是割裂運動與靜止的關(guān)系,，只講運動,，否認(rèn)靜止的形而上學(xué)相對主義和詭辯論。

簡單證明

關(guān)于阿基里斯追龜?shù)膯栴},，我們可以很簡單地證明阿基里斯追上了烏龜,。

我們設(shè)烏龜先前所走過的所有的點屬于集合B，烏龜現(xiàn)在所在的點標(biāo)志為b,，烏龜所走過的所有的點是集合A,，A由集合B中所有的點加上b點構(gòu)成。只要是烏龜先前所在的點,，都是阿基里斯可以走到的,，因而阿基里斯可以走到集合B中所有的點。那么,，我們能不能在集合A中找到一個點,，它既不屬于B，也不是b,，回答是不能的,。因而如果阿基里斯走過了集合B中所有的點，阿基里斯與b點的距離就已經(jīng)是0（如果不是0,，則應(yīng)該在阿基里斯與b點之間還會存在著一個點,，但這個點并不存在）,，也就是說，阿基里斯已經(jīng)追上了烏龜,。

而按照我們悖論所設(shè)定的條件,，阿基里斯是可以走到烏龜先前所走過的所有的點的。因而阿基里斯追到了烏龜,。但在上面的分析中,，我們發(fā)現(xiàn)了一個有趣的矛盾，這就是b既屬于B又不屬于B,，也就是說,，b既是現(xiàn)在又是先前。而且這是阿基里斯得以追上烏龜?shù)那疤岷蜅l件,。這樣的一個有趣的結(jié)論,，是決不可能為具有形而上學(xué)頭腦的那些數(shù)學(xué)家們所接受的。

此悖論假設(shè)阿基里斯永遠(yuǎn)只能到達(dá)龜前一個時間段到達(dá)的地方,，即追上的前一個時間段,，此時條件未發(fā)生變化，并先承認(rèn)此時間段兩者間仍有差異,，然后用不同的時間段進(jìn)行重復(fù)換算,，假設(shè)條件仍未變化。而在此時間段的下一個口徑相同的時間段里,，阿基米斯就會追上,。

相反觀點：這證明是錯誤的。因為證明假設(shè)了阿基里斯可以走一個點,，在事實上回避了悖論中無法找第1點問題實質(zhì),。故此證明和悖論無關(guān)，只是把小學(xué)應(yīng)用題用集合論復(fù)述了一遍,。

推翻悖論

其實,，我們根據(jù)中學(xué)所學(xué)過的無窮等比遞縮數(shù)列求和的知識，只需列一個方程就可以輕而易舉地推翻芝諾的悖論：阿基里斯在跑了

1000（1 0.1 0.01 …………）=1000(1 1/9)=10000/9米時便可趕上烏龜,。

人們認(rèn)為數(shù)列1 0.1 0.01 …………是永遠(yuǎn)也不能窮盡的,。這只不過是一個錯覺。

我們不妨來計算一下阿基里斯能夠追上烏龜?shù)臅r間為t（1 0.1 0.01 …………）=t (1 1/9)=10t/9

芝諾所說的阿基里斯不可能追上烏龜,，就隱藏著時間必須小于10t/9這樣一個條件,。

由于阿基里斯和烏龜是在不斷地運動的，對時間是沒有限制的,，時間很容易突破10t/9這樣一個條件,。一旦突破10t/9這樣一個條件，阿基里斯就追上了或超過了烏龜,。

人們被距離數(shù)列1 0.1 0.01 …………好像是永遠(yuǎn)也不能窮盡的假象迷惑了,，沒有考慮到時間數(shù)列1 0.1 0.01 …………是很容易達(dá)到和超過的了,。

但是不是所有的數(shù)列都能達(dá)到，所以,，我們看問題不能太極端,。例如無論多少個點也不能組成直線，對于點的個數(shù)來說,，我們就永遠(yuǎn)無法窮盡它,。

其實，以上的證明是無法推翻這個悖論的,。因為這個證明用到了極限這個概念,。然而，極限這個概念,，正是為了解決阿基里斯悖論而定義出來的一個概念,。用這個概念再反證這個悖論很明顯是不合理的。

無限的細(xì)分并不代表不會從時間1流入時間2,，否則你的時鐘將永遠(yuǎn)停留在59分59.9999............秒,。

阿基里斯能夠繼續(xù)逼近烏龜，在某一時間點之前無法追上,。但永遠(yuǎn)追不上這一結(jié)果并不成立，因為這一悖論只引導(dǎo)去考慮追上之前的距離,，而不是追上的這一距離,。

悖論正解

悖論隱含的假設(shè)就是阿基里斯沒有追上龜，為什么呢,？阿基里斯的每一段,，都是烏龜跑完了，才讓阿基里斯才跑的,。只是想當(dāng)然的用了一開始的距離差,，而這個距離差為逐段變小。

而這個趨近過程又想用時間衡量,，恰好時間和距離,，都可以無限劃分。靜止也存在這樣的接近過程,，舉個例子：假設(shè)烏龜是靜止的,，讓阿基里斯以這樣的方式跑。900米,，90米,，9米，0.9米……,，這樣他也追不上烏龜啊,，也同樣變不成零,，因為你的假設(shè)就是距離的無限小，這只是在尋找最短的距離,。這個就關(guān)系到極限了,。就像在找最小的物質(zhì)粒子一樣。