羅素悖論是由羅素發(fā)現(xiàn)的一個(gè)集合論悖論,，其基本思想是：對(duì)于任意一個(gè)集合A,，A要么是自身的元素,，即A∈A；A要么不是自身的元素,，即A?A,。根據(jù)康托爾集合論的概括原則，可將所有不是自身元素的集合構(gòu)成一個(gè)集合S1,，即S1={x:x?x},。

簡(jiǎn)介

20世紀(jì)之初，數(shù)學(xué)界甚至整個(gè)科學(xué)界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中,，科學(xué)家們普遍認(rèn)為,，數(shù)學(xué)的系統(tǒng)性和嚴(yán)密性已經(jīng)達(dá)到，科學(xué)大廈已經(jīng)基本建成,。例如,，德國(guó)物理學(xué)家基爾霍夫（G．R．Kirchhoff）就曾經(jīng)說過：“物理學(xué)將無所作為了，至多也只能在已知規(guī)律的公式的小數(shù)點(diǎn)后面加上幾個(gè)數(shù)字罷了,?！庇?guó)物理學(xué)家開爾文（L．Kelvin）在1900年回顧物理學(xué)的發(fā)展時(shí)也說：“在已經(jīng)基本建成的科學(xué)大廈中，后輩物理學(xué)家只能做一些零碎的修補(bǔ)工作了,?！狈▏?guó)大數(shù)學(xué)家彭迦萊（Poincar6）在1900年的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上也公開宣稱，數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性,，現(xiàn)在看來可以說是實(shí)現(xiàn)了,。然而好景不長(zhǎng)，時(shí)隔不到兩年,，科學(xué)界就發(fā)生了一件大事,，這件大事就是羅素（Russell）悖論的發(fā)現(xiàn)。

例子

理發(fā)師悖論

在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師,，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發(fā)技藝十分高超,，譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,，我也只給這些人刮臉,。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎！”來找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?，有一天，這位理發(fā)師從鏡子里看見自己的胡子長(zhǎng)了,，他本能地抓起了剃刀,，你們看他能不能給他自己刮臉呢,？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”,，他就要給自己刮臉,，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”,，他就不該給自己刮臉,。

理發(fā)師悖論與羅素悖論是等價(jià)的：如果把每個(gè)人看成一個(gè)集合，這個(gè)集合的元素被定義成這個(gè)人刮臉的對(duì)象,。那么,，理發(fā)師宣稱，他的元素,，都是城里不屬于自身的那些集合,，并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己,？這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論,。反過來的變換也是成立的。

“理發(fā)師悖論”是很容易解決的,，解決的辦法之一就是修正理發(fā)師的規(guī)矩,，將他自己排除在規(guī)矩之外；可是嚴(yán)格的羅素悖論就不是這么容易解決的了,。

書目悖論

一個(gè)圖書館編纂了一本書名詞典,，它列出這個(gè)圖書館里所有不列出自己書名的書。那么它列不列出自己的書名,？這個(gè)悖論與理發(fā)師悖論基本一致,。

影響

十九世紀(jì)下半葉，德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了著名的集合論,，在集合論剛產(chǎn)生時(shí),，曾遭到許多人的猛烈攻擊。但不久這一開創(chuàng)性成果就為廣大數(shù)學(xué)家所接受了,，并且獲得廣泛而高度的贊譽(yù),。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，從自然數(shù)與康托爾集合論出發(fā)可建立起整個(gè)數(shù)學(xué)大廈,。因而集合論成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石,。“一切數(shù)學(xué)成果可建立在集合論基礎(chǔ)上”這一發(fā)現(xiàn)使數(shù)學(xué)家們?yōu)橹兆怼?/p>

1903年,，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的,。這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素提出的著名的羅素悖論。羅素的這條悖論使集合論產(chǎn)生了危機(jī),。它非常淺顯易懂,，而且所涉及的只是集合論中最基本的東西,。所以，羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界與邏輯學(xué)界內(nèi)引起了極大震動(dòng),。德國(guó)的著名邏輯學(xué)家弗雷格在他的關(guān)于集合的基礎(chǔ)理論完稿付印時(shí),，收到了羅素關(guān)于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn),，自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟,。他只能在自己著作的末尾寫道：“一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事，莫過于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所干的工作的基礎(chǔ)崩潰了,?！?/p>

公理化集合論的建立，成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論,，從而比較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī),。但在另一方面,，羅素悖論對(duì)數(shù)學(xué)而言有著更為深刻的影響,。它使得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題第一次以最迫切的需要的姿態(tài)擺到數(shù)學(xué)家面前,，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究。而這方面的進(jìn)一步發(fā)展又極其深刻地影響了整個(gè)數(shù)學(xué),。如圍繞著數(shù)學(xué)基礎(chǔ)之爭(zhēng),，形成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)史上著名的三大數(shù)學(xué)流派，而各派的工作又都促進(jìn)了數(shù)學(xué)的大發(fā)展,。

于是,，數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)被動(dòng)搖了，這就是所謂的第三次數(shù)學(xué)危機(jī),。

羅素的悖論發(fā)表之后,，接著又發(fā)現(xiàn)一系列悖論（后來歸入所謂語義悖論）：

1.理查德悖論

2.培里悖論

3.格瑞林和納爾遜悖論

悖論的解決

羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S：S由一切不屬于自身的集合所組成。然后羅素問：s是否屬于S呢,？根據(jù)排中律,，一個(gè)元素或者屬于某個(gè)集合，或者不屬于某個(gè)集合,。因此,，對(duì)于一個(gè)給定集合，問是否屬于它自己是有意義的,。但對(duì)這個(gè)看似合理的問題的回答卻會(huì)陷入兩難境地,。如果s屬于S，根據(jù)S的定義,，s就不屬于S,；反之，如果s不屬于S,，同樣根據(jù)定義,，s就屬于S。無論如何都是矛盾的,。

羅素悖論提出后,，數(shù)學(xué)家們紛紛提出自己的解決方案。人們希望能夠通過對(duì)康托爾的集合論進(jìn)行改造,，通過對(duì)集合定義加以限制來排除悖論,，這就需要建立新的原則?！斑@些原則必須足夠狹窄,，以保證排除一切矛盾；另一方面又必須充分廣闊,，使康托爾集合論中一切有價(jià)值的內(nèi)容得以保存下來,。”解決這一悖論主要有兩種選擇,，ZF公理系統(tǒng)和NBG公理系統(tǒng),。

1908年，策梅羅（Ernst Zermelo）在自己這一原則基礎(chǔ)上提出第一個(gè)公理化集合論體系,，后來這一公理化集合系統(tǒng)很大程度上彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷,。這一公理系統(tǒng)在通過弗蘭克爾（Abraham Fraenkel）的改進(jìn)后被稱為ZF公理系統(tǒng)。在該公理系統(tǒng)中,，由于分類公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一個(gè)性質(zhì),，對(duì)任意已知集合A，存在一個(gè)集合B使得對(duì)所有元素x∈B當(dāng)且僅當(dāng)x∈A且P(x),；因此{(lán)x∣x是一個(gè)集合}并不能在該系統(tǒng)中寫成一個(gè)集合,，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通過該公理,，存在集合A={x∣x是一個(gè)集合}在ZF系統(tǒng)中能被證明是矛盾的,，因此羅素悖論在該系統(tǒng)中被避免了。

除ZF系統(tǒng)外,，集合論的公理系統(tǒng)還有多種,，如馮·諾伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系統(tǒng)等。在該公理系統(tǒng)中,，所有包含集合的"collection"都能被稱為類(class),，凡是集合也能被稱為類，但是某些collection太大了（比如一個(gè)collection包含所有集合）以至于不能是一個(gè)集合,，因此只能是個(gè)類,。這同樣也避免了羅素悖論。