基本介紹

《孫子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,，成書大約在四、五世紀,，也就是大約一千五百年前,，作者生平和編寫年不詳。傳本的《孫子算經(jīng)》共三卷。卷上敘述算籌記數(shù)的縱橫相間制度和籌算乘除法,，卷中舉例說明籌算分數(shù)算法和籌算開平方法,。卷下第31題，可謂是后世“雞兔同籠”題的始祖,，后來傳到日本,，變成“鶴龜算”。書中是這樣敘述的：“今有雉兔同籠,，上有三十五頭,，下有九十四足，問雉兔各幾何,？”這四句話的意思是：有若干只雞兔同在一個籠子里,，從上面數(shù)，有35個頭,；從下面數(shù),，有94只腳。求籠中各有幾只雞和兔,？此題被義務(wù)教育課程標準實驗教科書人教版數(shù)學(xué)四年級下冊選用,，并單獨列為一個單元（第9單元）進行學(xué)習(xí)。

內(nèi)容介紹

原序

孫子曰：夫算者：天地之經(jīng)緯,，群生之園首,，五常之本末，陰陽之父母,，星辰之建號,，三光之表里，五行之準平,，四時之終始,，萬物之祖宗，六藝之綱記,?；簜愔凵ⅲ级庵瞪?，推寒暑之迭運,，步遠近之殊同，觀天道精微之兆基,，察地理從橫之長短,，采神祇之所在，極成敗之符驗,。窮道德之理,，究性命之情,。立規(guī)矩，準方圓,，謹法度,，約尺丈，立權(quán)衡,，平重輕,，剖毫厘，析泰絫,。歷億載而不朽,，施八極而無疆。散之者,，富有余；背之者,，貧且寠,。心開者，幼沖而即悟,；意閉者,，皓首而難精。夫欲學(xué)之者,，必務(wù)量能揆己,，志在所專，如是,，則焉有不成者哉,！

全書共分三卷：

上卷

詳細的討論了度量衡的單位和籌算的制度和方法。

度量衡包括長度（度）,，質(zhì)量（量）,，體積/容積（衡）。長度的基本單位是蠶吐出的一根絲（直徑為一忽）,，以上為十進,。小的長度單位包括忽，絲,，毫,，牦，分,，寸,，尺，丈,，引,，端（50引）,。輔助單位包括匹（40尺），步（6尺）,，畝（240步,。古代以方形周長代面積），里（300步）,。

質(zhì)量的基本單位是一顆黍的質(zhì)量,，以上是絫，銖,，兩（24銖）,，觔（即斤，16兩）,，鈞（30斤）,，石（4鈞）。

體積和容積的基本單位是一顆粟的體積,。以上是圭（6粟）,，撮，抄,，勺,，合，升,，斗,，斛。

大數(shù)的名稱,，一萬萬為億,，以上每一萬倍稱為兆,，京，陔，秭,，穣,，溝,，澗,，正，載,。

圓周率約等于三（周三徑一）,，根號2約等于1.4（方五斜七）。

以下還記載了白銀,，鉛,，銅，鐵,，玉,，石等生產(chǎn)生活和經(jīng)濟生活中常見的物質(zhì)的密度,。

物質(zhì)密度表

物質(zhì) 記載密度 現(xiàn)代測量密度

銀 14兩/立方寸 10.49 g/cm3

玉 11兩/立方寸 3~3.6 g/cm3

銅 7.5兩/立方寸 8.9 g/cm3（純銅。青銅黃銅按比例降低）

鉛 9.5兩/立方寸 11.3437 g/cm3

鐵 7兩/立方寸 7.86 g/cm3

石 3兩/立方寸 ~3 g/cm3（各不相同）

籌算在春秋戰(zhàn)國時代已經(jīng)運用,，但在古代中國數(shù)學(xué)著作如算數(shù)書,、九章算術(shù)等書中都不曾記載算籌的使用方法；孫子算經(jīng)第一次詳細地記述籌算的布算規(guī)則：“凡算之法,，先識其位,，一縱十橫，百立千僵,，千十相望,，百萬相當(dāng)”，此外又說明用空位表示零,。

在進行乘法時,，“凡乘之法，重置其位,。上下相觀,，上位有十步至十，有百步至百,，有千步至千。以上命下,，所得之?dāng)?shù)列于中位,。言十即過，不滿自如,。上位乘訖者先去之,。下位乘訖者則俱退之。六不積,，五不只,。土下相乘，至盡則已,?！薄秾O子算經(jīng)》明確說明“先識其位”的位值概念，和“逢十進一”的十進位制,。

除法法則：“凡除之法：與乘正異乘得在中央,，除得在上方，假令六為法,，百為實,，以六除百，當(dāng)進之二等,，令在正百下,。以六除一,，則法多而實少，不可除,，故當(dāng)退就十位,，以法除實，言一六而折百為四十,，故可除,。若實多法少，自當(dāng)百之,，不當(dāng)復(fù)退,，故或步法十者，置于十百位（頭位有空絕者,，法退二位,。余法皆如乘時，實有余者,，以法命之,，以法為母， 實余為子,?！保?/p>

在此之后記載了谷物換算成精谷物和米飯的經(jīng)驗比例：粟米打成糲米的體積是五分之三，糲米煮成米飯的體積是二分之五,。

第一章的最后是乘法表（從九九八十一開始到一一得一）和每個乘法結(jié)果的乘方表,。用表格記載下來如下：

《孫子算經(jīng)》乘法表

乘法（口訣）乘法答案的平方 平方約去乘法口訣所在行

8×9=72（八九七十二）5184 5184÷8=648

7×9=63（七九六十三）3969 3969÷7=567

………… ………… …………

1×1=1（一一如一）1（一乘不長）-

中卷

主要是關(guān)于分數(shù)的應(yīng)用題，包括面積,、體積,、等比數(shù)列等計算題，大致都在《九章》中論述的范圍之內(nèi),；

下卷

對后世的影響最為深遠,，如下卷第31題即著名的“雞兔同籠”問題，后傳至日本,，被改為“鶴龜算”,。

今有雉、兔同籠,，上有三十五頭,，下有九十四足。問：雉,、兔各幾何,？答曰：雉二十三，兔一十二。

術(shù)曰：上置三十五頭,，下置九十四足,。半其足，得四十七,，以少減多,，再命之，上三除下三,，上五除下五,，下有一除上一，下有二除上二,，即得,。又術(shù)曰：上置頭，下置足,，半其足,，以頭除足，以足除頭,，即得,。

算法譯文：第一行放好頭的數(shù)目，第二行放好腳的數(shù)目,。將腳的數(shù)目除以二,，得四十七。以較少的頭數(shù)減較多的”腳數(shù)的一半“,，得十二（知道這就是兔的數(shù)目）,，將第一行的算籌數(shù)目根據(jù)第二行得出的數(shù)目依次取去，即得雞的數(shù)目,。

另一種算法是：第一行放頭的數(shù)目,，第二行放腳的數(shù)目,，將腳的數(shù)目除以二,，從腳的數(shù)目的一半減去頭的數(shù)目，再從頭的數(shù)目減去剛才所獲得的結(jié)果,，即得雞的數(shù)目,。

下卷27題則是”雞兔同籠“的一種推廣。即使是頭多于一個的奇異生物也能計算它們的數(shù)量,。

今有獸,，六首四足；禽,，四首二足,，上有七十六首，下有四十六足,。問：禽,、獸各幾何,？答曰：八獸、七禽,。

術(shù)曰：倍足以減首,，余半之，即獸,；以四乘獸,，減足，余半之,，即禽,。

算法譯文：將腳的總數(shù)乘以二，減去頭的數(shù)目,，差除以二,，得到獸的數(shù)目。將獸的數(shù)目乘以四,，減去腳的數(shù)目,，除以二，得到禽的數(shù)目,。

下卷第28題“物不知數(shù)”為后來的“大衍求一術(shù)”的起源,，被看作是中國數(shù)學(xué)史上最有創(chuàng)造性地成就之一，稱為中國余數(shù)定理：今有物,，不知其數(shù),。三三數(shù)之，剩二,；五五數(shù)之,，剩三；七七數(shù)之,，剩二,。問：物幾何？答曰：二十三,。

術(shù)曰：三三數(shù)之,，剩二，置一百四十,；五五數(shù)之,，剩三，置六十三,；七七數(shù)之,，剩二，置三十。并之,，得二百三十三,，以二百一十減之，即得,。凡三三數(shù)之,，剩一，則置七十,；五五數(shù)之,，剩一，則置二十一,；七七數(shù)之,，剩一，則置十五,。一百六以上,，以一百五減之，即得,。

下卷最后一題還提供了一種卜算胎兒性別的”方法“,，頗有些現(xiàn)代”校驗算法“的旨趣，一并記之如下：

今有孕婦,，行年二十九歲,。難九月，未知所生,？答曰：生男,。

術(shù)曰：置四十九加難月，減行年,，所余以天除一,，地除二，人除三,，四時除四,，五行除五，六律除六,，七星除七,，八風(fēng)除八,，九州除九,。其不盡者，奇則為男,，耦則為女,。

算法譯文：基數(shù)七七四十九，加上孕婦的孕期（九月，得五十八）,，減去孕婦的年齡（二十九,，得二十九）。計算結(jié)果連續(xù)除以一到九的整數(shù),。如果最后余數(shù)的和是奇數(shù)就是生男,，偶數(shù)就是生女。本例的結(jié)果是0,、1,、2、1,、4,、5、1,、5,、2，和為21,，所以孕婦生的是男孩,。

《孫子算經(jīng)》有新加坡大學(xué)數(shù)學(xué)教授藍麗蓉的英譯本。

鑒賞評價

社會影響

孫子算經(jīng),，中國南北朝數(shù)術(shù)著作,，《算經(jīng)十書》之一。

剩余定理

在我國古代勞動人民中,，長期流傳著“隔墻算”,、“剪管術(shù)”、“秦王暗點兵”等數(shù)學(xué)游戲,。有一首“孫子歌”,，甚至遠渡重洋，輸入日本：

“三人同行七十稀,，五樹梅花廿一枝,，

七子團圓正半月，除百零五便得知,?！?/p>

這些饒有趣味的數(shù)學(xué)游戲，以各種不同形式,，介紹世界聞名的“孫子問題”的解法,，通俗地反映了中國古代數(shù)學(xué)一項卓越的成就?！皩O子問題”在現(xiàn)代數(shù)論中是一個一次同余問題,，它最早出現(xiàn)在我國公元四世紀的數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中,。《孫子算經(jīng)》卷下“物不知數(shù)”題說：有物不知其數(shù),，三個一數(shù)余二,，五個一數(shù)余三，七個一數(shù)又余二,，問該物總數(shù)幾何,？顯然，這相當(dāng)于求不定方程組

N=3x+2,N=5y+3,N=7z+2

的正整數(shù)解N,，或用現(xiàn)代數(shù)論符號表示,，等價干解下列的一次同余組。

N=2(mod3);N=3(mod5);N=2(mod7)

《孫子算經(jīng)》所給答案是N=23,。由于孫子問題數(shù)據(jù)比較簡單,，這個答數(shù)通過試算也可以得到。但是《孫子算經(jīng)》并不是這樣做的,?！拔锊恢獢?shù)”題的術(shù)文指出解題的方法多三三數(shù)之，取數(shù)七十,，與余數(shù)二相乘,；五五數(shù)之，取數(shù)二十一,，與余數(shù)三相乘,；七七數(shù)之，取數(shù)十五,，與余數(shù)二相乘,。將諸乘積相加，然后減去一百零五的倍數(shù),。列成算式就是：

N=70×2+21×3+15×2－2×105=23,。

這里105是模數(shù)3、5,、7的最小公倍數(shù),，容易看出，《孫子算經(jīng)》給出的是符合條件的最小正整數(shù),。對于一般余數(shù)的情形,，《孫子算經(jīng)》術(shù)文指出，只要把上述算法中的余數(shù)2,、3,、2分別換成新的余數(shù)就行了。以R1,、R2,、R3表示這些余數(shù)，那么《孫子算經(jīng)》相當(dāng)于給出公式

N=70×R1+21×R2+15×R3－P×105（p是整數(shù)）,。

孫子算法的關(guān)鍵,，在于70、21和15這三個數(shù)的確定,。后來流傳的《孫子歌》中所說“七十稀”,、“廿一技”和“正半月”，就是暗指這三個關(guān)鍵的數(shù)字,?！秾O子算經(jīng)》沒有說明這三個數(shù)的來歷。實際上,，它們具有如下特性：

也就是說,，這三個數(shù)可以從最小公倍數(shù)M=3×5×7=105中各約去模數(shù)3、5,、7后,，再分別乘以整數(shù)2、1,、1而得到,。假令k1=2，K2=1,，K3=1,，那么整數(shù)Ki（i=1，2,，3）的選取使所得到的三數(shù)70,、21、15被相應(yīng)模數(shù)相除的時候余數(shù)都是1,。由此出發(fā),，立即可以推出，在余數(shù)是R1,、R2,、R3的情況下的情況。

應(yīng)用上述推理,，可以完全類似地把孫子算法推廣到一般情形：設(shè)有一數(shù)N,，分別被兩兩互素的幾個數(shù)a1、a2,、……an相除得余數(shù)R1,、R2、……Rn,，即

N≡Ri（mod ai）（i=1,、2,、……n），

只需求出一組數(shù)K,，使?jié)M足

1（mod ai）（i=1,、2、……n）,，

那么適合已給一次同余組的最小正數(shù)解是

（P是整數(shù),，M=a1×a2×……×an），

這就是現(xiàn)代數(shù)論中著名的剩余定理,。如上所說,，它的基本形式已經(jīng)包含在《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題的解法之中。不過《孫子算經(jīng)》沒有明確地表述這個一般的定理,。

孫子問題出現(xiàn)在公元四世紀的中國算書中,，這并不是偶然的。我國古代天文歷法資料表明,，一次同余問題的研究,，明顯地受到天文、歷法需要的推動,，特別是和古代歷法中所謂“上元積年”的計算密切相關(guān),。大家知道，一部歷法,，需要規(guī)定一個起算時間,，我國古代歷算家把這個起點叫做“歷元”或“上元”，并且把從歷元到編歷年所累積的時間叫做“上元積年”,。上元積年的推算需要求解一組一次同余式,。以公元三世紀三國時期魏國施行的《景初歷》做例，這部歷法規(guī)定以冬至,、朔旦（朔日子夜）和甲子日零時會合的時刻作為歷元,。設(shè)a是一回歸年日數(shù)，b是一朔望月日數(shù),，當(dāng)年冬至距甲子日零時是R1日,，離平朔時刻是R2日，那么《景初歷》上元積元數(shù)N就是同余組的解,。

aN≡Ri（mod 60）≡R2（mod b）

到了南北朝時期,，祖沖之《大明歷》（公元462年）更要求歷元必須同時是甲子年的開始，而且“日月合璧”,、“五星聯(lián)珠”（就是日,、月、五大行星處在同一方位）,，月亮又恰好行經(jīng)它的近地點和升交點,。這樣的條件下推算上元積年,，就相當(dāng)于要求解十個同余式了。天文歷法數(shù)據(jù)一般又都十分龐雜,，所以,，在《孫子算經(jīng)》成書前后的魏晉南北朝時期，我國的天文歷算家無疑已經(jīng)能夠求解形式比《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題復(fù)雜得多的一次同余式,，因而必定掌握了按一定程序計算一次同余式的方法,?！秾O子算經(jīng)》比例題的形式總結(jié),、反映了這一事實。以后天文歷算家長期沿用孫子算法推算上元積年,，這中間肯定會引起更加深入的探討,。到公元十三世紀，大數(shù)學(xué)家秦九韶集前法之大成,，終于在一次同余式的研究上獲得了超越前人的輝煌成果,。

秦九韶，字道古,，生活于南宋時期,，自幼喜好數(shù)學(xué)，經(jīng)過長期積累和苦心鉆研,，于公元1247年寫成《數(shù)書九章》,。這部中世紀的數(shù)學(xué)杰作，在許多方面都有創(chuàng)造,，其中求解一次同余組的“大衍求一術(shù)”和求高次方程數(shù)值解的“正負開方術(shù)”,，更是具有世界意義的成就。

這里主要介紹秦九韶對一次同余論的偉大貢獻,。

秦九韶在《數(shù)書九章》中明確地系統(tǒng)地敘述了求解一次同余組

的一般計算步驟,。秦的方法，正是前述的剩余定理,。我們知道,，剩余定理把一般的一次同余問題歸結(jié)為滿足條件的一組數(shù)Ki，的選定,。秦九韶給這些數(shù)起名叫“乘率”,，并且在《數(shù)書九章》卷一“大衍總術(shù)”中詳載了計算乘率的方法——“大衍求一術(shù)”。

為了介紹“大衍求一術(shù)”,，以任一乘率ki的計算作例,。如果Gi=＞ai，秦九韶首先令ai除Gi,，求得余數(shù)gi

Gi≡gi（mod ai）,，

于是 kiGi≡Kigi（mod ai）,，

但是因為 kiGi≡1（mod ai），

所以問題歸結(jié)為求ki使適合kigi≡1（mod ai）,。秦九韶把ai叫“定數(shù)”,，gi叫“奇數(shù)”，他的“大衍求一術(shù)”,，用現(xiàn)代語言解釋,，實際就是把奇數(shù)gi和定數(shù)ai輾轉(zhuǎn)相除，相繼得商數(shù)q1,、q2,、……qn和余數(shù)r1、r2,、……rn,，在輾轉(zhuǎn)相除的時候，隨即算出下面右列的c值：

秦九韶指出,，當(dāng)rn=1而n是偶數(shù)的時候,，最后得到的cn就是所求乘率ki。如果rn=1而n是奇數(shù),，那么把rn－1和rn相除,，形式上令qn+1=rn-1－1，那么余數(shù)rn+1仍舊是1,，再作cn+1=qn+1cn+cn-1,qn+1=rn-1-1是偶數(shù),，cn+1就是所求的ki。不論哪種情形,，最后一步都出現(xiàn)余數(shù)1,，整個計算到此終止，秦九韶因此把他的方法叫做“求一術(shù)”（至于“大衍”的意思,，秦九韶本人在《數(shù)書九章》序中把它和《周易》“大衍之?dāng)?shù)”相附會）,。可以證明,，秦九韶這一算法是完全正確,，十分嚴密的。

在秦九韶那個時代,，計算仍然使用算籌,。秦九韶在一個小方盤上，右上布置奇數(shù)g,，右下布置定數(shù)a,，左上置1（他叫它做“天元1”），然后在右行上下交互以少除多，所得商數(shù)和左上（或下）相乘并入左下（或上）,，直到右上方出現(xiàn)1為止,。下頁就是秦九韶的一般籌算圖式，右邊是一個數(shù)字例子（g=20,，a=27,，K=C4=23）。

秦九韶在《數(shù)書九章》中采集了大量例題,，如“古歷會積”,、“積尺尋源”、“推計土功”,、“程行計地”等等,，廣泛應(yīng)用大衍求一術(shù)來解決歷法、工程,、賦役和軍旅等實際問題,。在這些實際問題中,，模數(shù)ai并不總是兩兩互素的整數(shù),。秦九韶區(qū)分了“元數(shù)”（ai是整數(shù)）、“收數(shù)”（ai是小數(shù)）,、“通數(shù)”（ai是分數(shù)）等不同情形,，并且對每種情形給出了處理方法?！按笱芸傂g(shù)”把“收數(shù)”和“通數(shù)”化成“元數(shù)”的情形來計算,，而對于元數(shù)不兩兩互素的情形，給出了可靠的程序,，適當(dāng)選取那些元數(shù)的因子作定數(shù)而把問題歸結(jié)為兩兩互素的情形,。所有這些系統(tǒng)的理論，周密的考慮,，即使以今天的眼光看來也很不簡單,，充分顯示了秦九韶高超的數(shù)學(xué)水平和計算技巧。秦九韶小時曾跟隨他父親到南宋京城杭州,，向太史局（主管天文歷法的機構(gòu)）的官員學(xué)習(xí)天文歷法,，“大衍求一術(shù)”很可能就是他總結(jié)天文歷法計算上元積年方法的結(jié)果。但是“大衍求一術(shù)”似乎沒有為他同時代的人所充分理解,。明中葉以后幾乎失傳,。一直到清代，“大衍求一術(shù)”又重新被發(fā)掘出來,，引起了許多學(xué)者（張敦仁,、李銳、駱騰鳳、黃宗憲等）的興趣,。他們對“大衍求一術(shù)”進行了解釋,、改進和簡化，其中黃宗憲《求一術(shù)通解》對模數(shù)非兩兩互素的情形給出了更加簡明的方法,，但是時代已是晚清,。

從《孫子算經(jīng)》“物不知數(shù)”題到秦九韶的“大衍求一術(shù)”，古代中國數(shù)學(xué)家對一次同余式的研究,，不僅在中國數(shù)學(xué)史上而且在世界數(shù)學(xué)史上占有光榮的地位,。在歐洲，最早接觸一次同余式的,，是和秦九韶同時代的意大利數(shù)學(xué)家裴波那契（1170—1250）,，他在《算法之書》中給出了兩個一次同余問題，但是沒有一般的算法,。這兩個問題從形式到數(shù)據(jù)都和孫子物不知數(shù)題相仿,，整個水平?jīng)]有超過《孫子算經(jīng)》。直到十八,、十九世紀,，大數(shù)學(xué)家歐拉（1707—1783）于公元1743年、高斯（1777—1855）于公元1801年對一般一次同余式進行了詳細研究,，才重新獲得和秦九韶“大衍求一術(shù)”相同的定理,，并且對模數(shù)兩兩互素的情形給出了嚴格證明。歐拉和高斯事先并不知道中國人的工作,。公元1852年英國傳教士偉烈亞力（1815—1887）發(fā)表《中國科學(xué)摘記》,，介紹了《孫子算經(jīng)》物不知數(shù)題和秦九韶的解法，引起了歐洲學(xué)者的重視,。1876年,，德國馬蒂生（1830—1906）首先指出孫子問題的解法和高斯方法一致，當(dāng)時德國著名數(shù)學(xué)史家康托（1829—1920）看到馬蒂生的文章以后,，高度評價了“大衍術(shù)”,，并且稱贊發(fā)現(xiàn)這一方法的中國數(shù)學(xué)家是“最幸運的天才”?！按笱芮笠恍g(shù)”仍然引起西方數(shù)學(xué)史家濃厚的研究興趣,。如1973年，美國出版的一部數(shù)學(xué)史專著《十三世紀的中國數(shù)學(xué)》中,，系統(tǒng)介紹了中國學(xué)者在一次同余論方面的成就,，作者力勃雷希（比利時人）在評論秦九韶的貢獻的時候說道：“秦九韶在不定分析方面的著作時代頗早，考慮到這一點,，我們就會看到,，薩頓稱秦九韶為‘他那個民族、他那個時代、并且確實也是所有時代最偉大的數(shù)學(xué)家之一’,，是毫不夸張的,。”

印度學(xué)者對一次同余論也有過重要貢獻,。從公元六世紀到十二世紀,，他們發(fā)展了一種稱為“庫塔卡”的算法，用來求解和一次同余式等價的不定方程組,?！皫焖ā狈ǔ霈F(xiàn)在孫子算法之后，印度數(shù)學(xué)家婆羅門復(fù)多（七世紀）,、摩柯吠羅（九世紀）等人的著作中,，都有和物不知數(shù)題相同的一次同余問題。這當(dāng)然不是要借此斷言“庫塔卡”法一定受到了孫子算法的影響,，但是有人（如萬海依等）硬說中自的“大衍求一術(shù)”來源于“庫塔卡”,，就是毫無根據(jù)的妄說了。萬海依居然把中國算法中數(shù)碼從左到右橫寫作為“大衍術(shù)”受印度影響的重要根據(jù),。大家知道,，中國古代至遲從春秋戰(zhàn)國時期就開始使用算籌記數(shù)，我們今天還可以從現(xiàn)存的公元前三世紀的貨幣上看到這種從左到右的記數(shù)方法,。由此可見,，萬海依的論點多么荒唐可笑,。中國古代數(shù)學(xué)家對一次同余論的研究有明顯的獨創(chuàng)性和繼承性,，“大衍求一術(shù)”在世界數(shù)學(xué)史上的崇高地位是毋容置疑的，正因為這樣,，在西方數(shù)學(xué)史著作中,，一直公正地稱求解一次同余組的剩余定理為“中國剩余定理”。

蕩杯問題

在中國古算書中,，《孫子算經(jīng)》一直在我國數(shù)史占有重要的地位,，其中的“盈不足術(shù)”、“蕩杯問題”等都有著許多有趣而又不乏技巧算術(shù)程式,。

孫子算經(jīng).卷下第十七問給我們描述的就是著名的“蕩杯問題”的程式,。題曰：“今有婦人河上蕩杯。津吏問曰：‘杯何以多,？’婦人曰：‘有客,。’津吏曰：‘客幾何,？’婦人曰：‘二人共飯,，三人共羹，四人共肉，凡用杯六十五,。不知客幾何,？”

很明顯，這里告訴這次洗碗事件,，要處理的是65個碗共有多少人的問題,。其中有能了解客數(shù)的信息是2人共碗飯，3人共碗羹,，4人共碗肉,。通過這幾個數(shù)值，很自然就能解決客數(shù)問題,。因為客數(shù)是固定值,，因此將其列成今式為N/2+N/3+N/4=65，易得客數(shù)六十人,。

而該題的解法與今解如出一轍,，其有“術(shù)曰：置六十五杯，以一十二乘之,，得七百八十,，以十三除之，即得”可證,。