基本介紹

《緝古算經(jīng)》，中國古代數(shù)學(xué)著作之一,，王孝通撰,。他是唐代初期數(shù)學(xué)家。根據(jù)《舊唐書》,、《新唐書》以及《唐會要》的記載,，王孝通出身于平民，唐高祖武德年間（公元623年前后）擔任算學(xué)博士,，奉命與吏部郎中祖孝孫?？备等殊x制訂的《戊寅歷》，提出異議30余條,，被提升為太史丞,。王孝通把畢生的精力都用在數(shù)學(xué)的研究方面。稱得上是這一時期最偉大的數(shù)學(xué)家,。他的最大貢獻是在總結(jié)前人研究的基礎(chǔ)上,，寫作了《緝古算術(shù)》。王孝通撰《緝古算經(jīng)》唐武德八年（625）五月,，王孝通撰《緝古算經(jīng)》在長安成書,，這是中國現(xiàn)存最早解三次方程的著作。

簡介

第一題為推求月球赤緯度數(shù),，屬于天文歷法方面的計算問題,，第二題至十四題是修造觀象臺、修筑堤壩,、開挖溝渠,，以及建造倉廩和地窖等土木工程和水利工程的施工計算問題，第十五至二十題是勾股問題,。這些問題反映了當時開鑿運河,、修筑長城和大規(guī)模城市建設(shè)等土木和水利工程施工計算的實際需要。

王孝通在《上緝古算經(jīng)表》中說：伏尋《九章》商功篇有平地役功受袤之術(shù),。至于上寬下狹,，前高后卑，正經(jīng)之內(nèi)闕而不論,。致使今代之人不達深理,，就平正之間同欹邪之用。斯乃圓孔方枘,，如何可安,。臣晝思夜想,，臨書浩嘆，恐一旦瞑目,，將來莫睹,。遂于平地之余，續(xù)狹邪之法,，凡二十術(shù),，名曰《緝古》這段話清楚地說明了他寫作本書的目的和研究成果。

《緝古算經(jīng)》涉及到立體體積計算,、勾股計算,、建立和求解三次方程x3+ax2+bx=A（a、b和A,，非負），建立和求解雙二次方程x4+ax2=A（a,、A,，為正，這是一種特殊形式的四次方程）等數(shù)學(xué)內(nèi)容,。這類問題與解法大多相當復(fù)雜,，就當時數(shù)學(xué)水平而言是相當困難的，因此,，在國子監(jiān)算學(xué)館要學(xué)習三年,，學(xué)習年限僅次于祖氏父子的《綴術(shù)》。

例如該書第三題,，假如從甲,、乙、丙,、丁四縣征派民工修筑河堤,，這段河堤的橫截面是等腰梯形，已知兩端上下底之差,，兩端高度差,，一端上底與高度差，一端高度與堤長之差,，且已知各縣出工人數(shù),，每人每日平均取土量、隔山渡水取土距離,、負重運輸效率和筑堤土方量,，以及完工時間等，求每人每日可完成的土方量,，整段河堤的土方量（即河堤體積）和這段河堤的長度,、兩端高度,、兩端上下底寬度，以及各縣完成的堤段長度等,。前兩個問題是比較簡單的算術(shù)問題,，后兩個問題則要經(jīng)過較復(fù)雜的推導(dǎo)和幾何變換歸結(jié)為建立和求解形如x3+ax2+bx=A的三次方程。

在《緝古算經(jīng)》第十五題至二十題等屬于勾股算術(shù)的問題中,，王孝通還創(chuàng)造性地把勾股問題引向三次方程,，并與代數(shù)方法結(jié)合起來，擴大了勾股算術(shù)的范圍,，發(fā)展了勾股問題的解題方法,。

發(fā)展歷史

在中國數(shù)學(xué)史上，《緝古算經(jīng)》是中國現(xiàn)存最早介紹開帶從立方法的算書,，它集中體現(xiàn)了中國古代數(shù)學(xué)家早在公元七世紀在建立和求解三次方程等方面所取得的重要成就,。在西方，雖然很早就已知道三次方程,，但最初解三次方程是利用圓錐曲線的圖解法,，一直到十三世紀意大利數(shù)學(xué)家菲波那契才有了三次方程的數(shù)值解法，這比王孝通晚了六百多年,。王孝通對自己的研究成果十分得意,。他在《上緝古算經(jīng)表》中批評時人稱之精妙的《綴術(shù)》曾不覺方邑進行之術(shù)全錯不通，芻甍方亭之問于理未盡",，由于《綴術(shù)》已經(jīng)失傳,，王孝通的說法是否正確，已無從查考,，但想來恐有失偏頗,。他還宣稱，"請訪能算之人考論得失,，如有排其一字,，臣欲謝以千金，這又未免有些過于自信,。以后,，宋元數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了天元術(shù)、四元術(shù)和高次方程數(shù)值解法等,，取得了更加輝煌的成就,。

試題

假今天正十一月朔夜半，日在斗十度七百分度之四百八十,。以章歲為母,，朔月行定分九千，朔日定小余一萬,，日法二萬,，章歲七百,，亦名行分法。今不取加時日度,。問：天正朔夜半之時月在何處,？（推朔夜半月度，舊術(shù)要須加時日度,。自古先儒雖復(fù)修撰改制,，意見甚眾，并未得算妙,，有理不盡,，考校尤難。臣每日夜思量,，常以此理屈滯,，恐后代無人知者。今奉敕造歷,，因即改制,，為此新術(shù)。舊推日度之術(shù),，巳得朔夜半日度，仍須更求加時日度,，然知月處,。臣今作新術(shù)，但得朔夜半日度,，不須加時日度,，即知月處。此新術(shù)比于舊術(shù),，一年之中十二倍省功,，使學(xué)者易知）

答曰：在斗四度七百分度之五百三十。

內(nèi)容介紹

《緝古算經(jīng)》全書共二十問,，書首為《上緝古算術(shù)表》,。各問題的形式大致相同，每問以“假令”開頭,，以“問：……各幾何,？”或“問：……個多少？”結(jié)尾,；隨后是答案：“答曰……”,；最后一段是“術(shù)曰”，詳細敘述建立方程的理論依據(jù)和具體程序,。每題都有答案,，但關(guān)于解題方法,，王孝通則言簡意賅。

第一問

“假今天正十一月朔夜半,，日在斗十度七百分度之四百八十,。以章歲為母，朔月行定分九千,，朔日定小余一萬,，日法二萬，章歲七百,，亦名行分法,。今不取加時日度。問：天正朔夜半之時月在何處,？”,。這是一道天文題，求半夜時月亮的赤道經(jīng)度,，王孝通用算術(shù)解題,。

第二問

假令太史造仰觀臺，上廣袤少,，下廣袤多,。上下廣差二丈，上下袤差四丈,，上廣袤差三丈,，高多上廣一十一丈，甲縣差一千四百一十八人,，乙縣差三千二百二十二人,，夏程人功常積七十五尺，限五日役臺畢,。羨道從臺南面起,，上廣多下廣一丈二尺，少袤一百四尺,，高多袤四丈,。甲縣一十三鄉(xiāng)，乙縣四十三鄉(xiāng),，每鄉(xiāng)別均賦常積六千三百尺,，限一日役羨道畢。二縣差到人共造仰觀臺,，二縣鄉(xiāng)人共造羨道,，皆從先給甲縣，以次與乙縣,。臺自下基給高,，道自初登給袤,。問：臺道廣、高,、袤及縣別給高,、廣、袤各幾何,？”,。

對于這個建造觀象臺和臺道的廣度、高度,、深度的計算,，王孝通列出三個

形式的三次方程式，和一個形式的三次方程式

第三問

“假令筑堤,，西頭上,、下廣差六丈八尺二寸，東頭上,、下廣差六尺二寸,。東頭高少於西頭高三丈一尺，上廣多東頭高四尺九寸,，正袤多於東頭高四百七十六尺九寸,。甲縣六千七百二十四人，乙縣一萬六千六百七十七人,，丙縣一萬九千四百四十八人,，丁縣一萬二千七百八十一人。四縣每人一日穿土九石九斗二升,。每人一日筑常積一十一尺四寸十三分寸之六。穿方一尺得土八斗,。古人負土二斗四升八合,，平道行一百九十二步,，一日六十二到,。今隔山渡水取土,，其平道只有一十一步,，山斜高三十步,，水寬一十二步,，上山三當四,，下山六當五,，水行一當二,，平道踟躕十加一,，載輸一十四步。減計一人作功為均積,。四縣共造,，一日役華,。今從東頭與甲，其次與乙,、丙,、丁。問：給斜,、正袤與高,，及下廣，并每人一日自穿,、運,、筑程功，及堤上,、下高,、廣各幾何？

王孝通解此題,，建立了一個二次方程,，兩個三次方程。

第一個三次方程：

第二個三次方程：

王孝通求得其解：31

第四問

“假令筑龍尾堤,，其堤從頭高,、上闊以次低狹至尾。上廣多,，下廣少,，堤頭上下廣差六尺，下廣少高一丈二尺,，少袤四丈八尺,。甲縣二千三百七十五人，乙縣二千三百七十八人,，丙縣五千二百四十七人,。各人程功常積一尺九寸八分，一日役畢,，三縣共筑,。今從堤尾與甲縣，以次與乙,、丙,。問：龍尾堤從頭至尾高、袤,、廣及各縣別給高,、袤、廣各多少?！?/p>

王孝通 兩個三次方程,。

解之得 x=18尺；

解之得 x=33尺,；

第五問

“假令穿河,，袤一裏二百七十六步，下廣六步一尺二寸,；北頭深一丈八尺六寸,，上廣十二步二尺四寸；南頭深二百四十一尺八寸,；上廣八十六步四尺八寸,。運土於河西岸造漘，北頭高二百二十三尺二寸,，南頭無高,，下廣四百六尺七寸五厘，袤與河同,。甲郡二萬二千三百二十人,，乙郡六萬八千七十六人，丙郡五萬九千九百八十五人,，丁郡三萬七千九百四十四人,。自穿、負,、筑,，各人程功常積三尺七寸二分。限九十六日役,，河漘俱了,。四郡分共造漘，其河自北頭先給甲郡,，以次與乙,，合均賦積尺。問：逐郡各給斜,、正袤,，上廣及深,，并漘上廣各多少,？”

解二次方程，三次方程各一,。

三次方程：得方倉上底邊x=3尺,，下底邊=9尺，高=12尺。

第六問

“假令四郡輸粟,，斛法二尺五寸,，一人作功為均。自上給甲,，以次與乙,。其甲郡輸粟三萬八千七百四十五石六斗，乙郡輸粟三萬四千九百五石六斗,，丙郡輸粟,，二萬六千二百七十石四斗，丁郡輸粟一萬四千七十八石四斗,。四郡共穿窖,，上袤多於上廣一丈，少於下袤三丈,，多於深六丈,，少於下廣一丈。各計粟多少,，均出丁夫,。自穿、負,、筑,，冬程人功常積一十二尺，一日役,。問：窖上下廣,、袤、深,，郡別出人及窖深,、廣各多少？”

解兩個三次方程,。

第七問

“假令亭倉上小下大,，上下方差六尺，高多上方九尺,，容粟一百八十七石二斗,。今已運出五十石四斗。問：倉上下方,、高及余粟深,、上方各多少？”

為求余粟深度,，王孝通的辦法是建立又一個三次方程：

第八問

“假令芻甍上袤三丈,，下袤九丈,，廣六丈，高一十二丈,。有甲縣六百三十二人,，乙縣二百四十三人。夏程人功當積三十六尺,，限八日役,。自穿筑，二縣共造,。今甲縣先到,。問：自下給高、廣,、袤,、各多少？”是關(guān)于建筑觀象臺,、河堤,、糧窖等工程中的土方問題。

解一個三次方程：

得 乙縣工程高x=72尺;甲縣工程高=120-72=48尺,、上廣=36尺,、袤=66尺。

第九問

“假令圓囤上小下大,，斛法二尺五寸,，以率徑一周三。上下周差一丈二尺,，高多上周一丈八尺,，容粟七百五斛六斗。今已運出二百六十六石四斗,。問：殘粟去口,、上下周、高各多少,？”

解兩個三次方程,。

第十問

“假令有粟二萬三千一百二十斛七斗三升，欲作方倉一,，圓窖一,，盛各滿中而粟適盡。令高,、深等,，使方面少於圓徑九寸，多於高二丈九尺八寸,，率徑七,，周二十二。問：方,、徑,、深多少？”

解一個三次方程,。

第十一問

“假令有粟一萬六千三百四十八石八斗,，欲作方倉四、圓窖三,，令高,、深等，方面少於圓徑一丈,，多於高五尺,，斛法二尺五寸，率徑七,，周二十二,。問：方、高,、徑多少,？”

解一個三次方程。

第十二問

“假令有粟三千七十二石,，欲作方倉一,、圓窖一，令徑與方等,，方於窖深二尺,，少於倉高三尺，盛各滿中而粟適盡（圓率,、斛法并與前同）,。問：方、徑,、高,、深各多少？”

解一個三次方程,。

第十三問

“假令有粟五千一百四十石,，欲作方窖、圓窖各一,，令口小底大,，方面於圓徑等，兩深亦同,，其深少於下方七尺,，多於上方一丈四尺,，盛各滿中而粟適盡（圓率、斛法并與前同）,。問：方,、徑、深各多少,？”

解一個三次方程,。

第十四問

“假令有粟二萬六千三百四十二石四斗，欲作方窖六,、圓窖四,，令口小底大，方面與圓徑等,，其深亦同,，令深少於下方七尺，多於上方一丈四尺,，盛各滿中而粟適盡（圓率,、斛法并與前同）。問上下方,、深數(shù)各多少,？”

解一個三次方程。

第十五問

“假令有句股相乘冪七百六十五分之一,，弦多於句三十六十分之九,。問：三事各多少？”

第十六問

“假令相乘冪四千七百三十九五分之三,，句少於弦五十四五分之二,。問：股多少？”

解一個三次方程,。

第十七問

“假令有句弦相乘冪一千三百三十七二十分之一,，弦多股一、十分之一,。問：股多少,？”

解一個三次方程?！按鹪唬壕攀宸种?。”

“術(shù)曰：冪自乘,，倍多而一,，為立冪。又多再自乘,，半之,，減立冪,，余為實。又多數(shù)自乘,，倍之,，為方法。又置多數(shù),，五之，二而一,，為廉法,，從。開立方除之,，即股（句弦相乘冪自乘,，即句冪乘弦冪之積。故以倍股弦差而一,，得一股與半差為方,，令多再自乘半之為隅，橫虛二立廉……倍之為從隅……多為上廣即二多……法故五之二而一）,?！?/p>

第十八問

“假令有股弦相乘冪四千七百三十九五分之三，句少於弦五十四五分之二,。問：股多少,？”

解一個三次方程。

第十九問

“假令有股弦相乘冪七百二十六,，句七,、十分之七。問：股多少,？”

解一個雙二次方程,。

第二十問

“假令有股十六二分之一，句弦相乘冪一百六十四二十五分之十四,。問：句多少,？”

作者介紹

生平

唐代立于學(xué)官的十部算經(jīng)中，王孝通《緝古算經(jīng)》是唯一的一部由唐代學(xué)者撰寫的,。王孝通主要活動于六世紀末和七世紀初,。他出身于平民，少年時期便開始潛心鉆研數(shù)學(xué),，隋朝時以歷算入仕,，入唐后被留用，唐朝初年做過算學(xué)博士（亦稱算歷博士）,，后升任通直郎,、太史丞,。畢生從事數(shù)學(xué)和天文工作。

唐武德六年（623）,，因行用的傅仁均《戊寅元歷》推算日月食與實際天象不合,，與吏部郎中祖孝孫受命研究傅仁均歷存在的問題，武德九年（626）又與大理卿崔善為奉詔?？备等示鶜v,，駁正術(shù)錯三十余處，并付太史施行,。

成就

王孝通所著《緝古算術(shù)》,，被用作國子監(jiān)算學(xué)館數(shù)學(xué)教材，奉為數(shù)學(xué)經(jīng)典,，故后人稱為《緝古算經(jīng)》,。全書一卷（新、舊《唐書》稱四卷,，但由于一卷的題數(shù)與王孝通自述相符,，因此可能在卷次分法上有所不同）共二十題。

其他信息

版本

《緝古算經(jīng)》在唐代就有抄本,，宋元豐七年（1084年）有秘書監(jiān)趙彥若等校定刊本,，但到明代，刊本幾乎遺失,，僅存章丘李開先所藏一部南宋刊本,。清代毛晉獲得《緝古算經(jīng)》，影抄傳世,?！毒児潘憬?jīng)》影抄本后歸常熟毛扆汲古閣收藏；清乾隆年間孔繼涵得毛扆汲古閣所藏宋元豐七年《緝古算經(jīng)》影抄本和其他算書六種,，連同戴東原從永樂大典中編輯出的《海島算經(jīng)》等書合為十部,，一同刻印刊行；孔繼涵所刻《緝古算經(jīng)》,，世稱為微波謝本,。同時《四庫全書》又收入吏部侍郎王杰所藏《緝古算經(jīng)》的毛晉影抄本。微波謝本后佚,，影抄本現(xiàn)存北京故宮博物院,。

清代中期，研究《緝古算經(jīng)》之風盛行,，先后有李潢《緝古算經(jīng)考注》二卷,，張敦仁《緝古算經(jīng)細草》一卷，陳杰《緝古算經(jīng)細草》一卷，《緝古算經(jīng)注》二卷,，《緝古算經(jīng)音義》一卷,，及按微波謝本抄錄的《緝古算經(jīng)經(jīng)文》一卷；揭廷鏘《緝古算經(jīng)考注圖草》一卷,。

1963年中華書局出版錢寶琮校點多《算經(jīng)十書》,，其中包括《緝古算經(jīng)》。

1998你 郭書春 校點《緝古算經(jīng)》《算經(jīng)十書》卷2 遼寧教育出版社,。