基本介紹

《五曹算經(jīng)》是算經(jīng)十書之一,，古代中國數(shù)學(xué)著作。一般認(rèn)為由北周甄鸞所作,，李淳風(fēng)等為之作注,。甄鸞通歷法，曾編《天和歷》,于566年頒行,?！拔宀堋笔侵肝孱惞賳T。其中"田曹"所收的問題是各種田畝面積的計算,，“兵曹”是關(guān)于軍隊(duì)配置,、給養(yǎng)運(yùn)輸?shù)鹊能娛聰?shù)學(xué)問題,“集曹”是貿(mào)易交換問題，“倉曹”是糧食稅收和倉窖體積問題,，“金曹”是絲織物交易等問題,。全書共收67個問題，其數(shù)學(xué)內(nèi)容沒有超出《九章算術(shù)》的內(nèi)容,。其南宋刻本,，收藏于北京大學(xué)圖書館。

內(nèi)容介紹

《五曹算經(jīng)》,，北周甄鸞所著,。

唐代史料中多有“《五曹》、《孫子》等十部算經(jīng)”一類說法,，表明此書是“算經(jīng)十書”中較受唐代官方重視的一部算書,。作為唐宋官方數(shù)學(xué)教育的教材，《五曹算經(jīng)》代有刊刻傳抄,，受到歷朝很多數(shù)學(xué)家的重視,，其歷史影響不可低估。另一方面，與十部算經(jīng)中其他算書相比,，《五曹算經(jīng)》的編排和卷名更顯著地表明它服務(wù)于相應(yīng)的社會經(jīng)濟(jì)制度,。因此，對《五曹算經(jīng)》的研究有助于我們了解中國數(shù)學(xué)史及相關(guān)社會背景問題,。然而,，由于此書所載算題“解題方法都很淺近，數(shù)字計算不須要分?jǐn)?shù)的概念”,，而被視為“稍為有些落后的”,，從數(shù)學(xué)史“內(nèi)史”角度來看，學(xué)者們?nèi)菀渍J(rèn)為其研究價值不高,。此外,，該書分為“田曹”、“兵曹”,、“集曹”,、“倉曹”、“金曹”五卷,，每卷標(biāo)題后又都有李淳風(fēng)所作題解,，似乎很容易就能把各卷算題同當(dāng)時行政事務(wù)對應(yīng)起來。所以,，以往的數(shù)學(xué)史論著往往僅注意它在算法上粗略的一面,。對于算題的社會背景，論說也很簡略粗疏,，還出現(xiàn)了一些誤解,。

作者介紹

甄鸞，字叔遵（535-566）,，無極（今河北省無極縣）人,，北周數(shù)學(xué)家，官司隸校尉,、漢中太守,。信佛教，擅長于精算,，制天和歷法,，于天和元年（566年）起被采用頒行。曾注釋不少古算書,，著有《五經(jīng)算術(shù)》等,。另有周天和年歷一卷,《七曜算術(shù)》二卷。

所謂《算經(jīng)十書》,，除《綴術(shù)》及后邊的《緝古算經(jīng)》外,，都有他撰注的記載,。他所撰的《五曹算經(jīng)》、《五經(jīng)算術(shù)》和《數(shù)術(shù)記遺》,，今有傳本,。《五曹算經(jīng)》是一部為地方官員撰寫的應(yīng)用數(shù)學(xué)書,，內(nèi)容淺近,。《五經(jīng)算術(shù)》對于《尚書》,、《詩經(jīng)》,、《周易》、《周官》,、《禮記》,、《論語》等經(jīng)籍中涉及數(shù)學(xué)、天文歷法的內(nèi)容,，作了注釋，在數(shù)學(xué)上并沒有創(chuàng)新,?！稊?shù)術(shù)記遺》題“漢徐岳撰，甄鸞注”,。近人認(rèn)為此書是甄鸞自撰自注而偽托徐岳的作品,，也有的學(xué)者認(rèn)為確為徐岳撰、甄鶯注,。書中記載三種進(jìn)位制度和14種記數(shù)法,，其中“積算”即籌算，而“珠算”雖不是元,、明之后的珠算盤,，但開后者之先河，似無可疑,?！坝嫈?shù)”則介紹了一種別于古代傳統(tǒng)的測望方法。其余算法則大都脫離實(shí)際,。他對《周髀算經(jīng)》的注釋,，水平不高，而關(guān)于其他算經(jīng)的注釋,，都已失傳,。

其他信息

北朝制度

北魏初年推行“計口授田”制，實(shí)際上是一種民屯,，其實(shí)施辦法可見于太平真君五年（444年）下令“有牛家與無牛家一人種田二十二畝,，償以私鋤功七畝，如是為差；至與小,、老無牛家種田七畝,，小、老者償以鋤功二畝,。皆以五口以下貧家為率,。各列家別口數(shù)，所勸種頃畝,，明立簿目”,，太和元年（477年）又規(guī)定“一夫制治田四十畝，中男二十畝,?！边@種“授田”制度可以追溯到戰(zhàn)國時期的魏、秦等國,?！毒耪滤阈g(shù)》記載了多種形狀田地的面積計算方法，與春秋戰(zhàn)國時代統(tǒng)計土地數(shù)量,、收取地租,、大量開墾土地、土地買賣等活動需要測量多種形狀的土地面積有密切的關(guān)系,，也與當(dāng)時的授田制有一定的關(guān)系,。由于當(dāng)時數(shù)學(xué)有理論化的傾向，這就引導(dǎo)人們追求方法的普遍性并使獲得普遍性和精確性高的算法成為可能,，而在當(dāng)時適應(yīng)變法求強(qiáng)的各種要求嚴(yán)格的法律和規(guī)章制度,，也使尋求精確度高的算法成為必要因此《九章算術(shù)》有多種表述上具有普遍性、精度較高的田地面積計算,，是不奇怪的,。晉代也頒布了諸如“男子一人占田七十畝，女子三十畝”之類占田,、課田等土地制度,。但東漢至六朝時期，國家無力遏制豪族兼并土地,，行政工作中計算土地面積的需求就降低了,，這一時期對土地的丈量更多體現(xiàn)在買賣田地的契約中，但在晉代以前,，地契中對土地各項(xiàng)信息的記錄并不規(guī)范,，各項(xiàng)信息往往記載非常模糊。故從實(shí)用角度而言,，成書于晉代的《孫子算經(jīng)》并無詳細(xì)記載田地面積的計算方法的迫切需要,。同樣理由也適用于反映5世紀(jì)前期中原地區(qū)社會經(jīng)濟(jì)狀況的《張丘建算經(jīng)》,，因?yàn)楸蔽呵捌谑谔镏苹局煌菩杏谶吘臣笆锥计匠歉浇５珡谋蔽洪_始,，國家控制土地的力量又增強(qiáng)了,，由此就能更有力地推行朝廷頒布的土地條令。在這一背景下,，有的算書中計算田地面積的題目應(yīng)當(dāng)會重新增多,。不過“授田”制更多的是對前朝制度的繼承，將田地面積計算方法恢復(fù)到《九章算術(shù)》的數(shù)量或許就夠了,，為什么《五曹算經(jīng)》中會增加這么多描述土地形狀的術(shù)語和相應(yīng)的算法呢,？

這種情形應(yīng)該與均田制有密切關(guān)系。均田制初行于北魏,，后代累有采用,，到唐中后期廢止。均田制以長期戰(zhàn)亂造成的大量無主田,、荒地為前提,，雖少有觸犯大官僚和士家大族的利益，但為廣大下層農(nóng)民獲得合法土地提供了一定的保證,，而且涉及的地域甚廣,。北魏均田制的標(biāo)志性事件是太和九年（485年）頒布均田令，規(guī)定了農(nóng)民在各種情況下受露田,、桑田的數(shù)量，其中數(shù)字最大的是“諸男夫十五以上,，受露田四十畝,，婦人二十畝，奴婢依良,。丁牛一頭受田三十畝,，限四牛。所授之田率倍之,，三易之田再倍之,，以供耕休及還受之盈縮”，男夫受“桑田”二十畝,。而在人多地少的“狹鄉(xiāng)”,，如農(nóng)民不愿遷移，所受田地數(shù)量就會少些,。由于是政府主持,，地方籍帳中出現(xiàn)大量授田及還田的記錄，都對各塊土地的標(biāo)的,、“四至”及面積有詳細(xì)描述,。算書中對田地面積計算法求多求全,，與這種由國家對土地管理的增強(qiáng)帶來的規(guī)范化不無關(guān)系。另一方面,，在均田制下,，農(nóng)民死后或年逾七十原則上要將所受露田歸還給政府，實(shí)際操作中往往采取更靈活的方法,，如后代可以繼承前代所受桑田作為露田（“倍田”）,，從而使部分田地的還受在家庭內(nèi)部解決等等。但無論還田采取何種形式,，對于重新受田,，官府依然要在戶籍中進(jìn)行記錄。而既然對田地的各項(xiàng)信息都要詳細(xì)記載,，那么也應(yīng)對田地面積進(jìn)行丈量,。這與此前少有涉及還田的土地制度相比，丈量田地面積不但在工作量上大大增加,，而且成為地方行政部門的一項(xiàng)日常工作,。

均田制對于土地面積的計算帶來的具體影響，可概括為兩方面,。一方面,，對土地面積的計算更頻繁了，最初可能只需把大塊土地劃分成小塊授予農(nóng)民,，太和九年令規(guī)定民戶所受田地“不得隔越他畔”,，即每戶所受田地應(yīng)連成一片，但由于這些田地帶有桑田,、露田等不同性質(zhì),，往往又被細(xì)分為若干段。經(jīng)過農(nóng)民還田官府再授田,，或經(jīng)過多次后代分割繼承前代所分桑田等過程,，這些小塊土地可能會變得越來越細(xì)碎，而每塊土地的面積都要被丈量出來,，因此不僅開始時計算量大,，而且頻繁的計算會長期出現(xiàn)。另一方面,，由于土地被劃分為細(xì)碎的小塊,，由于地貌等原因，就容易出現(xiàn)各種形狀不規(guī)則的田地,。

為應(yīng)付均田制帶來的劃分,、丈量田地面積的繁重計算量，需要編輯相應(yīng)的算書,，提供形狀足夠多的田地的計算法,，以便地方官吏碰到某種形狀的田地,，就能馬上依術(shù)計算?！段宀芩憬?jīng)》“田曹”卷當(dāng)以為適應(yīng)這種需要而編輯的算書為原型,。田曹共有19個問題涉及19塊田，其中面積超過1頃（100畝）的只有3塊（最大的2頃60畝奇100步）,。其他的田地中,，超過北魏實(shí)行均田法時一個適齡男性勞動力所受桑田20畝的只有兩塊，大于10畝小于20畝的田5塊,，大于1畝小于10畝的田地6塊,，低于1畝的田地3塊，其中最小的為63步,?？紤]到北魏時還有一些大戶、官員受田都以頃計,，《五曹算經(jīng)》中出現(xiàn)3塊超過一頃的田地是可以理解的,。余下的16塊田地，最大的也只有63畝奇80步,，只比一對壯年夫婦所受露田之和60畝稍多一點(diǎn),，還不及一對有牛夫婦所應(yīng)受的露田數(shù)；次大的只有23畝奇150步,，也只略多于一壯年婦女所應(yīng)受露田額20畝,、而遠(yuǎn)小于一個壯年男子所應(yīng)受的露田額40畝。其他的14塊田都小于20畝,。如果根據(jù)距離《五曹算經(jīng)》編成年代更近的西魏大統(tǒng)十三年瓜州籍帳,，則可看出民戶所受每段田地面積都小于20畝，大多數(shù)都在10畝以下,，而“田曹”卷的19塊田中20畝以下面積的田地就有14塊，從題目涉及數(shù)量上看,，這些算題和相應(yīng)的方法適合于官吏進(jìn)行學(xué)習(xí)并付諸應(yīng)用,。同時“田曹”卷收集了形狀種類盡可能多的田地計算法，可以滿足北魏授田與均田法需要關(guān)于各種形狀田地的面積算法之要求,。范圍廣泛,、頻繁進(jìn)行的計算工作，也使得所需要的大量官吏無暇在精細(xì)算法上下功夫,，而均田制在北朝還屬初創(chuàng)階段,，由于戰(zhàn)亂又時廢時興，在工作中難免帶有一些粗放和原始的特點(diǎn),，因此《五曹算經(jīng)》中有些算法不太精確,，是可以理解的,。

下面，我們將對這些精確度不高的算法進(jìn)行具體討論,。

1.由半對角線求正方形田的面積,。“田曹”卷第11題,，由正方形田的中心到一個頂點(diǎn)的距離（對角線之半）求其面積,，其方法為先求對角線，再求正方形的邊長,，然后自乘,。這個問題與《孫子算經(jīng)》卷上第14題的題設(shè)、數(shù)字和解法都相同,，只是文字稍異,。在《九章算術(shù)》的“少廣”章，專門介紹了開方術(shù),，可由面積求出正方形的邊長,。《孫子算經(jīng)》卷上第19題和《張丘建算經(jīng)》卷中的倒數(shù)第4題也是由方田（正方形）面積用開方法求其邊長,。這種利用開方的方法原則上可以求出精確值,。但《五曹算經(jīng)》和《孫子》在求邊長時，沒有用到開方術(shù),，而是根據(jù)邊長與對角線之比為5:7的近似比率,，用比例方法求出邊長。對于這類問題,，古代可能想到的精確算法有兩種,。一種是利用勾股定理，由對角線用開方法求出邊長,，再由邊長自乘,，得到面積。另一種是利用出入相補(bǔ)原理,，可以得知對角線上的正方形面積（對角線的平方）等于兩個邊長上的正方形的面積（邊長的平方）之和,，因此可以由對角線自乘，再除以2得到這塊田的面積,?！段宀堋泛汀秾O子》所用算法求出的面積（一頃八十三畝奇一百八十步）比實(shí)際面積（一頃八十畝奇十八步）大三畝奇一百六十二步。不使用早幾百年就已出現(xiàn),，且時代稍早的算書,、甚至同一部算書中仍在使用的精確算法，這種做法說明《五曹》和《孫子》記載的是一種更原始的算法,，而其編者并沒有根據(jù)早已改進(jìn)的算法來糾正它,。我們上面所述的第二種精確算法,，需要較多的抽象化和理論化方面的考慮，不容易想到,。第一種精確算法需要用到開方,，無疑比較復(fù)雜、難以掌握,，遠(yuǎn)不如書中所載近似算法那么直截了當(dāng),，易為一般基層官吏所掌握。

2.四不等田,。土地方位通常用“四至”來描述,，如果土地面積較大，對丈量精確度又要求不高,，一些形狀與矩形相去不太遠(yuǎn)的田地,，就能將其近似地作為矩形來處理，這樣方田的計算方法通常就能夠滿足需求,。但現(xiàn)實(shí)中肯定還存在大量與矩形相差很遠(yuǎn)的田地,，從早期出土文獻(xiàn)中能夠發(fā)現(xiàn)關(guān)于不規(guī)則四邊形的記錄。例如漢代買地券中有“南廣九十四步,，西長六十八步,，北廣六十五，東長七十九步,，為田二十三畝奇百六十四步”,，買地券中出現(xiàn)的土地未必真實(shí)存在，但從計算結(jié)果來看漢代恐怕還沒有推行后代計算四不等田面積的通用公式,，因?yàn)橛冒ā段宀芩憬?jīng)》在內(nèi)的后世幾部算書中統(tǒng)一的算法去計算前述土地面積,，并不能算出相同得數(shù)；不過,，既然東漢已經(jīng)有了對這種四不等田及其面積的描述,，那么《五曹》、《敦煌算書》“均田法”和《夏侯陽》都統(tǒng)一采用的算法（兩組對邊平均值的乘積）,，很可能在早于這些算書的時代就已經(jīng)出現(xiàn),，只是未見于現(xiàn)存的幾部更早的算書而已。

3.在曲邊形田地的面積計算上,，《五曹算經(jīng)》較前代算書，幾乎沒有任何進(jìn)展,。即使這類土地本來難以有所變化,，也應(yīng)把一大原因歸結(jié)為在土地丈量的實(shí)際操作中，碰到曲邊形土地的機(jī)會要遠(yuǎn)小于四邊形土地,，而精確計算此類圖形面積的方法對于有些地方行政工作者來說,，不僅有些高深,，而且比較麻煩費(fèi)事。故《五曹算經(jīng)》將弧田,、覆月田中的曲邊,，都按直邊對待，而將這兩種圖形,，都近似化為三角形來計算面積,。這種做法無疑降低了計算的準(zhǔn)確性，卻簡化了運(yùn)算步驟,，方便文化程度不高的下級官吏掌握,。

4.對于六邊梯形，《五曹算經(jīng)》有3種,，在上列算書中是包含類別最多的,，而這在早于它的算書中一種都沒有，晚于它的《敦煌算書》和《夏侯陽算經(jīng)》只分別有2種和1種,。在現(xiàn)實(shí)中,，這種長條形狀的田是很多的。它們本可以通過分為兩個梯形分別計算其面積,、然后求和來解決,，但《五曹算經(jīng)》卻采用了另一條思路：先算出三廣的平均值，再乘以從,。這種算法說明造術(shù)者的思路是把這種圖形化為矩形來計算,，這與三角形田和梯形田的求積法有相似性：對特殊的廣進(jìn)行平均（對梯形是把兩廣求其平均，對三角形則視為一廣為零的梯形來處理,，對六邊梯形則是三廣平均）,，可以代替各廣，他（們）還沒有認(rèn)識到這種代替只適用于一些特殊形狀的圖形,?！段宀堋逢P(guān)于這些圖形的求積法的思想基礎(chǔ)，是面積由一系列線段積累而成的觀念,。這種觀念是很自然的思想,，在先秦文獻(xiàn)中已經(jīng)存在，在《九章》及其劉徽注也用到了,。當(dāng)考慮不嚴(yán)密時,，古人很容易想到用幾條特殊的廣的平均值作為諸廣的代表。因此,，盡管《五曹》中六邊梯形的求積法不見于現(xiàn)存早于它的其他算書,，但它們未必都由《五曹》那些問題的作者首先提出。《五曹》提出或采用這些精度不高的六邊梯形的面積算法,，說明它適應(yīng)現(xiàn)實(shí)急務(wù)的需要：畢竟這種算法比分為兩個梯形來計算,，要簡便得多，也便于大量基層官吏學(xué)習(xí)和掌握,。

總之,，《五曹算經(jīng)》中出現(xiàn)的形狀種類繁多的田地面積計算法，是北朝田地制度下行政部門需要頻繁劃分,、丈量土地的形勢對相應(yīng)的計算工具的必然要求,，而其中采用一些精度不高的算法，則不僅與均田制剛剛創(chuàng)立,、還不夠完善有關(guān),，而且也由于這些算法比更精確的算法簡單便捷、更易于基層官吏掌握,，同時又可以滿足大范圍的頻繁測量與計算有關(guān),。唐代田曹的職能“掌園宅、口分,、永業(yè)及蔭田”,，需要測算各種田地面積，正與《五曹算經(jīng)》“田曹”中的問題所討論的對象非常吻合,，由于北周與唐代制度有密切聯(lián)系,，而均田制從北魏到唐中期都有施行，在服務(wù)于行政管理的算書中,，將計算田地面積的題目列于“田曹”名目之下,，是非常恰當(dāng)?shù)摹?/p>