人物簡(jiǎn)介

《九章算術(shù)》約成書(shū)于東漢之初,，共有246個(gè)問(wèn)題的解法,。在許多方面：如解聯(lián)立方程,，分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，正負(fù)數(shù)運(yùn)算,，幾何圖形的體積面積計(jì)算等,，都屬于世界先進(jìn)之列。劉徽在曹魏景初四年注《九章算術(shù)注》,。

但因解法比較原始,，缺乏必要的證明，劉徽則對(duì)此均作了補(bǔ)充證明,。在這些證明中,，顯示了他在眾多方面的創(chuàng)造性貢獻(xiàn)。他是世界上最早提出十進(jìn)小數(shù)概念的人,，并用十進(jìn)小數(shù)來(lái)表示無(wú)理數(shù)的立方根,。在代數(shù)方面，他正確地提出了正負(fù)數(shù)的概念及其加減運(yùn)算的法則,，改進(jìn)了線性方程組的解法,。在幾何方面，提出了"割圓術(shù)",，即將圓周用內(nèi)接或外切正多邊形窮竭的一種求圓面積和圓周長(zhǎng)的方法,。他利用割圓術(shù)科學(xué)地求出了圓周率π=3.1416的結(jié)果。他用割圓術(shù),，從直徑為2尺的圓內(nèi)接正六邊形開(kāi)始割圓,，依次得正12邊形、正24邊形……,，割得越細(xì),，正多邊形面積和圓面積之差越小，用他的原話說(shuō)是“割之彌細(xì),，所失彌少,，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)所失矣,?！彼?jì)算了3072邊形面積并驗(yàn)證了這個(gè)值。劉徽提出的計(jì)算圓周率的科學(xué)方法,，奠定了此后千余年來(lái)中國(guó)圓周率計(jì)算在世界上的領(lǐng)先地位,。

劉徽在數(shù)學(xué)上的貢獻(xiàn)極多，在開(kāi)方不盡的問(wèn)題中提出“求徽數(shù)”的思想,，這方法與后來(lái)求無(wú)理根的近似值的方法一致,，它不僅是圓周率精確計(jì)算的必要條件，而且促進(jìn)了十進(jìn)小數(shù)的產(chǎn)生,；在線性方程組解法中,，他創(chuàng)造了比直除法更簡(jiǎn)便的互乘相消法，與現(xiàn)今解法基本一致,；并在中國(guó)數(shù)學(xué)史上第一次提出了“不定方程問(wèn)題”,；他還建立了等差級(jí)數(shù)前n項(xiàng)和公式；提出并定義了許多數(shù)學(xué)概念：如冪（面積）,；方程（線性方程組）,；正負(fù)數(shù)等等．劉徽還提出了許多公認(rèn)正確的判斷作為證明的前提．他的大多數(shù)推理、證明都合乎邏輯,，十分嚴(yán)謹(jǐn),，從而把《九章算術(shù)》及他自己提出的解法、公式建立在必然性的基礎(chǔ)之上,。雖然劉徽沒(méi)有寫(xiě)出自成體系的著作,，但他注《九章算術(shù)》所運(yùn)用的數(shù)學(xué)知識(shí)，實(shí)際上已經(jīng)形成了一個(gè)獨(dú)具特色,、包括概念和判斷,、并以數(shù)學(xué)證明為其聯(lián)系紐帶的理論體系。

劉徽在割圓術(shù)中提出的"割之彌細(xì),，所失彌少,，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣",，這可視為中國(guó)古代極限觀念的佳作,。《海島算經(jīng)》一書(shū)中,，劉徽精心選編了九個(gè)測(cè)量問(wèn)題,，這些題目的創(chuàng)造性、復(fù)雜性和富有代表性,，都在當(dāng)時(shí)為西方所矚目,。劉徽思想敏捷,，方法靈活，既提倡推理又主張直觀,。他是我國(guó)最早明確主張用邏輯推理的方式來(lái)論證數(shù)學(xué)命題的人,。精確到了小數(shù)點(diǎn)后5位。

主要作品

劉徽其代表作《九章算術(shù)注》是對(duì)《九章算術(shù)》一書(shū)的注解,?！毒耪滤阈g(shù)》是中國(guó)流傳至今最古老的數(shù)學(xué)專著之一，它成書(shū)于西漢時(shí)期,。這部書(shū)的完成經(jīng)過(guò)了一段歷史過(guò)程,，書(shū)中所收集的各種數(shù)學(xué)問(wèn)題，有些是秦以前流傳的問(wèn)題,，長(zhǎng)期以來(lái)經(jīng)過(guò)多人刪補(bǔ),、修訂，最后由西漢時(shí)期的數(shù)學(xué)家整理完成?，F(xiàn)今流傳的定本的內(nèi)容在東漢之前已經(jīng)形成,。

《九章算術(shù)》是中國(guó)最重要的一部經(jīng)典數(shù)學(xué)著作，它的完成奠定了中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ),，在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有極為重要的地位。現(xiàn)傳本《九章算術(shù)》共收集了246個(gè)應(yīng)用問(wèn)題和各種問(wèn)題的解法,，分別隸屬于方田,、粟米、衰分,、少?gòu)V,、商功、均輸,、盈不足,、方程、勾股九章,。

《九章算術(shù)》的產(chǎn)生是社會(huì)發(fā)展和數(shù)學(xué)知識(shí)長(zhǎng)期積累的結(jié)果,，它匯集了不同時(shí)期數(shù)學(xué)家的勞動(dòng)成果。三國(guó)時(shí)的數(shù)學(xué)家劉徽認(rèn)為：“周公制禮有九數(shù),，九數(shù)之流,，則《九章》是矣?！瓭h北平侯張蒼,、大司農(nóng)中丞耿壽昌皆以善算命世。蒼等因舊文之遺殘,，各稱刪補(bǔ),。故校其目則與古或異,，而所論多近語(yǔ)也?！备鶕?jù)劉徽的考證結(jié)果,，《九章算術(shù)》源于周公時(shí)代的“九數(shù)”，而他所見(jiàn)到的《九章算術(shù)》是西漢時(shí)的張蒼,、耿壽昌在先秦遺文的基礎(chǔ)上刪補(bǔ)而成的,，其中包括了大量西漢時(shí)補(bǔ)充的內(nèi)容。根據(jù)歷史文獻(xiàn)和出土文物資料來(lái)分析,，劉徽所言是可信的,。

《九章算術(shù)》所包含的各種算法是漢朝數(shù)學(xué)家們?cè)谇匾郧傲鱾飨聛?lái)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上，適應(yīng)當(dāng)時(shí)的需要補(bǔ)充修訂而成的,。按照劉徽的考證,，張蒼和耿壽昌都是參加過(guò)修訂工作的主要數(shù)學(xué)家?！妒酚洝堌┫嗔袀鳌酚涊d,，張蒼（約公元前250～公元前152）經(jīng)歷了秦、漢兩個(gè)朝代,，他在高帝六年（公元前201年）以攻藏茶有功封為北平侯,。“自秦時(shí)為柱下史,，明天下圖書(shū)計(jì)籍,。又善用算律歷?！彼€“著書(shū)18篇,，言陰陽(yáng)律歷事?！惫鄄纳昴甏辉?，漢宣帝時(shí)官至大司農(nóng)中丞，“以善為算,，能商功利”得寵于皇帝（見(jiàn)《漢書(shū)·食貨志》）,。他于天文學(xué)主張渾天說(shuō)，甘露二年（公元前52年）奏“以圓儀度日月行,，考驗(yàn)天運(yùn)狀”（見(jiàn)《后漢書(shū)·律歷志》）,。張蒼和耿壽昌都是數(shù)學(xué)名家，又身居高位,，由他們主持修訂先秦流傳下來(lái)的《算術(shù)》是很自然的事情,。根據(jù)劉徽的記載，他所注釋的《九章算術(shù)》最后是由耿壽昌刪定的,。我們認(rèn)為耿壽昌刪補(bǔ)《九章算術(shù)》的年代可以定為這部書(shū)完成的年代,。

貢獻(xiàn)影響

《九章算術(shù)》是由國(guó)家組織力量編纂的一部官方性數(shù)學(xué)教科書(shū),，對(duì)兩漢時(shí)期數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響?！稄V韻》卷四有“九章術(shù),，漢許商、杜志,、吳陳熾,、王粲并善之”，《后漢書(shū)·馬援傳》有馬續(xù)（約70～141年）“博觀群籍,，善九章算術(shù)”負(fù)記載,。此外，史書(shū)中還有鄭玄（127～200年）,、劉洪等人“通九章算術(shù)”的記述,。可知該書(shū)是當(dāng)時(shí)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要教材,，在東漢光和二年（179）一塊銅版上的銘文規(guī)定：“大司農(nóng)以戊寅（138,？）詔書(shū)，……特更為諸州作銅斗,、斜,、稱。依黃鐘律歷,，《九章算術(shù)》以均長(zhǎng)短,、輕重、大小,，以齊七政，令海內(nèi)都同,?！边@說(shuō)明該書(shū)在東漢時(shí)期不僅廣為流傳，而且度量衡研制涉及的數(shù)學(xué)問(wèn)題也要以書(shū)中的算法為依據(jù),。許商,、杜志可能是《九章算書(shū)》成書(shū)后最早研究過(guò)該書(shū)的數(shù)學(xué)家。許商,、杜志都是西漢后期的數(shù)學(xué)家,。《漢書(shū)·藝文志》著錄有《許商算術(shù)》26卷,、《杜志算術(shù)》16卷,。這兩部書(shū)都是漢成帝三年（前26）尹咸校對(duì)數(shù)術(shù)著作之前撰寫(xiě)的。許商,、杜志的著作完成年代與耿壽昌刪補(bǔ)《九章算術(shù)》的年代相去不遠(yuǎn),，他們的數(shù)學(xué)著作應(yīng)當(dāng)是在研究了《九章算術(shù)》的基礎(chǔ)上完成的,。

《九章算術(shù)》不僅在中國(guó)數(shù)學(xué)史上占有重要地位，對(duì)世界數(shù)學(xué)的發(fā)展也有著重要的貢獻(xiàn),。分?jǐn)?shù)理論及其完整的算法,，比例和比例分配算法，面積和體積算法,，以及各類應(yīng)用問(wèn)題的解法,，在書(shū)中的方田、粟米,、衰分,、商功、均輸?shù)日乱延辛讼喈?dāng)詳備的敘述,。而少?gòu)V,、盈不足、方程,、勾股等章中的開(kāi)立方法,、盈不足術(shù)（雙假設(shè)法）、正負(fù)數(shù)概念,、線性聯(lián)立方程組解法,、整數(shù)勾股弦的一般公式等內(nèi)容都是世界數(shù)學(xué)史上的卓越成就。 傳本《九章算術(shù)》有劉徽注和唐李淳風(fēng)等的注釋,。

劉徽是中國(guó)古代杰出的數(shù)學(xué)家,，他生活在三國(guó)時(shí)代的魏國(guó)?！端鍟?shū)·律歷志》論歷代量制引商功章注,，說(shuō)“魏陳留王景元四年（263）劉徽注《九章》?！彼纳讲豢稍斂?。劉徽的《九章》注不僅在整理古代數(shù)學(xué)體系和完善古算 理論方面取得了重要成就，而且提出了豐富多彩的創(chuàng)見(jiàn)和發(fā)明,。劉徽在算術(shù),、代數(shù)、幾何等方面都有杰出的貢獻(xiàn),。例如,，他用比率理論建立了數(shù)與式的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，他應(yīng)用了出入相補(bǔ)原理和極限方法解決了許多面積和體積問(wèn)題,，建立了獨(dú)具風(fēng)格的面積和體積理論。他對(duì)《九章》中的許多結(jié)論給出了嚴(yán)格的證明,，他的一些方法對(duì)后世有很大啟發(fā)，即使對(duì)現(xiàn)今數(shù)學(xué)也有可借鑒之處,。

主要成就

劉徽的數(shù)學(xué)成就大致為兩方面：

一是整理中國(guó)古代數(shù)學(xué)體系并奠定了它的理論基礎(chǔ),，這方面集中體現(xiàn)在《九章算術(shù)注》中,。它實(shí)已形成為一個(gè)比較完整的理論體系：

數(shù)系理論

用數(shù)的同類與異類闡述了通分、約分,、四則運(yùn)算，以及繁分?jǐn)?shù)化簡(jiǎn)等的運(yùn)算法則,；在開(kāi)方術(shù) 的注釋中,，他從開(kāi)方不盡的意義出發(fā)，論述了無(wú)理方根的存在,，并引進(jìn)了新數(shù),，創(chuàng)造了用十進(jìn)分?jǐn)?shù)無(wú)限逼近無(wú)理根的方法。

在籌式演算理論方面,， 先給率以比較明確的定義,，又以遍乘、通約、齊同等三種基本運(yùn)算為基礎(chǔ),，建立了數(shù)與式運(yùn)算的統(tǒng)一的理論基礎(chǔ)，他還用“率”來(lái)定義中國(guó)古代數(shù)學(xué)中的“方程”,，即現(xiàn)代數(shù)學(xué)中線性方程組的增廣矩陣,。

在勾股理論方面逐一論證了有關(guān)勾股定理與解勾股形的計(jì)算原理，建立了相似勾股形理論,，發(fā)展了勾股測(cè)量術(shù),，通過(guò)對(duì)“勾中容橫”與“股中容直”之類的典型圖形的論析,，形成了中國(guó)特色的相似理論,。

面積與體積理論

用出入相補(bǔ),、以盈補(bǔ)虛的原理及“割圓術(shù)”的極限方法提出了劉徽原理，并解決了多種幾何形,、幾何體的面積,、體積計(jì)算問(wèn)題,。這些方面的理論價(jià)值至今仍閃爍著余輝,。

二是在繼承的基礎(chǔ)上提出了自己的創(chuàng)見(jiàn)。這方面主要體現(xiàn)為以下幾項(xiàng)有代表性的創(chuàng)見(jiàn)：

割圓術(shù)與圓周率,， 他在《九章算術(shù) 圓田術(shù)》注中，用割圓術(shù)證明了圓面積的精確公式,，并給出了計(jì)算圓周率的科學(xué)方法,。他首先從圓內(nèi)接六邊形開(kāi)始割圓，每次邊數(shù)倍增,，算到192邊形的面積，得到π=157/50=3.14,，又算到3072邊形的面積,，得到π=3927/1250=3.1416，稱為“徽率”,。

劉徽原理在《九章算術(shù)陽(yáng)馬術(shù)》注中，他在用無(wú)限分割的方法解決錐體體積時(shí),，提出了關(guān)于多面體體積計(jì)算的劉徽原理,。

“牟合方蓋”說(shuō)

在《九章算術(shù)開(kāi)立圓術(shù)》注中,，他指出了球體積公式V=9D3/16(D為球直徑)的不精確性,，并引入了“牟合方蓋”這一著名的幾何模型?！澳埠戏缴w”是指正方體的兩個(gè)軸互相垂直的內(nèi)切圓柱體的貫交部分,。

方程新術(shù)

在《九章算術(shù)方程術(shù)》注中，他提出了解線性方程組的新方法,，運(yùn)用了比率算法的思想,。

重差術(shù)

在自撰《海島算經(jīng)》中，他提出了重差術(shù),，采用了重表、連索和累矩等測(cè)高測(cè)遠(yuǎn)方法,。他還運(yùn)用“類推衍化”的方法,，使重差術(shù)由兩次測(cè)望,，發(fā)展為“三望”,、“四望”,。而印度在7世紀(jì)，歐洲在15～16世紀(jì)才開(kāi)始研究?jī)纱螠y(cè)望的問(wèn)題。劉徽的工作,，不僅對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生了深遠(yuǎn)影響，而且在世界數(shù)學(xué)史上也確立了崇高的歷史地位。鑒于劉徽的巨大貢獻(xiàn),，所以不少書(shū)上把他稱作“中國(guó)數(shù)學(xué)史上的牛頓”,。