通過化簡后,，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程,，叫做一元二次方程（quadratic equation with one unknown）,。

簡介

一元二次方程的一般形式是，其中是二次項,，是二次項系數(shù),；是一次項，是一次項系數(shù),；是常數(shù)項,。

使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解,，也叫做一元二次方程的根（root）。

發(fā)展簡史

通過分析古巴比倫泥板上的代數(shù)問題,，可以發(fā)現(xiàn)，在公元前2250年古巴比倫人就已經(jīng)掌握了與求解一元二次方程相關(guān)的代數(shù)學(xué)知識,，并將之應(yīng)用于解決有關(guān)矩形面積和邊的問題,。相關(guān)的算法可以追溯到烏爾第三王朝。

在發(fā)現(xiàn)于卡呼恩（Kahun）的兩份古埃及紙草書上也出現(xiàn)了用試位法求解二次方程的問題,。

公元前300年前后,，活躍于古希臘文化中心亞歷山大的數(shù)學(xué)家歐幾里得（Euclid）所著的《幾何原本》（Euclid’s Elements）中卷II命題5、命題6以及卷VI命題12,、命題13的內(nèi)容相當(dāng)于二次方程的幾何解,。

繼歐幾里得之后，亞歷山大數(shù)學(xué)發(fā)展第二次高潮“白銀時代”的代表人物丟番圖（Diophantus）發(fā)表了《算術(shù)》（Arithmetica）,。該書出現(xiàn)了若干二次方程或可歸結(jié)為二次方程的問題,。這足以說明丟番圖熟練掌握了二次方程的求根公式，但仍限于正有理根,。不過他始終只取一個根,，如果有兩個正根，他就取較大的一個,。

中國古代數(shù)學(xué)很早就涉及二次方程問題,。在中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作《九章算術(shù)》中就已涉及相關(guān)問題。因此可以肯定,，二次方程及其解法自東漢以來就已為人們所熟知了,。

公元628年，印度數(shù)學(xué)家婆羅摩笈多（Brahmagupta,，公元598-665年以后卒）完成了《婆羅摩修正體系》（Brahma-sphuta-siddhanta）,，其中有兩章專論數(shù)學(xué)。

但婆羅摩笈多當(dāng)時是用語言來表述的,，沒有使用符號,。

前面敘述的這些數(shù)學(xué)成就大多是后來的數(shù)學(xué)史家們考證的成果，而近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中方程思想的源頭一般明確追溯到9世紀(jì)初的阿拉伯世界,。

公元5-11世紀(jì),，是歐洲歷史上的黑暗時期。天主教會成為歐洲社會的絕對勢力,。封建宗教統(tǒng)治,，使一般人篤信天國，追求來世,，從而淡漠世俗生活,，對自然不感興趣,。教會宣揚天啟真理，并擁有解釋這種真理的絕對權(quán)威,，導(dǎo)致了理性的壓抑,，歐洲文明在整個中世紀(jì)處于凝滯狀態(tài)。由于羅馬人偏重于實用而沒有發(fā)展抽象數(shù)學(xué),，終使黑暗時代的歐洲在數(shù)學(xué)領(lǐng)域毫無成就,。在此期間，阿拉伯人在保存和傳播希臘,、印度甚至中國的文化,，最終為近代歐洲的文藝復(fù)興準(zhǔn)備學(xué)術(shù)前提方面作出了巨大貢獻。

在推翻倭馬亞王朝之后,，阿拔斯王朝將首都遷往巴格達,，其第二任哈里發(fā)曼蘇爾（al-Mansur，公元754-775年在位）仿效波斯舊制,，建立起了完整的行政體制,。在最初的100年時間里，特別是第五任哈里發(fā)哈倫·拉希德（Harunal-Rashid,，公元786-809年在位）和第七任哈里發(fā)馬蒙（al-Ma'mūn,，公元813-833年在位）執(zhí)政時期，是阿拉伯帝國極盛時期,，同時阿拉伯帝國的科學(xué)文化事業(yè)在廣泛吸收古希臘,、印度等文明成果的基礎(chǔ)上進入了繁榮昌盛階段。

阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的突出成就首先表現(xiàn)在代數(shù)學(xué)方面,。中世紀(jì)阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家對世界影響最大的可說是花拉子密（al-Khwārizmī,，約公元783-850年）。約公元820年,，花拉子密的著作《還原與對消之書》（al-Kitāb al-jabr wal-muqābala,，簡稱《代數(shù)學(xué)》）問世。在該書中,，他將“還原（al-jabr）”定義為這樣一種運算,，即將方程一側(cè)的一個減去的量移到方程的另一側(cè)變?yōu)榧由系牧浚粏卧~“wa”是“和”的意思,；“al-muqābala”的意思是將方程兩側(cè)相等的同類正項消去,，此處譯為“對消”。后來的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家通常用“還原（al-jabr）”一詞來代替整個還原與對消算法,，并逐漸用來表示一個數(shù)學(xué)分支,，最終其演變?yōu)楫?dāng)代的“代數(shù)（algebra）”一詞。

其中，這樣便窮盡了有正根的一元二次方程的所有可能,，同時花拉子密給出了與當(dāng)代相同的公式解,。《代數(shù)學(xué)》全書沒有符號,，但有明確的方程思想,，其中“還原與對消”方法作為代數(shù)學(xué)的基本特征被長期保留下來，并基本確立了后世阿拉伯代數(shù)學(xué)中方程化簡（多項式理論）和方程求解這兩條主要發(fā)展脈絡(luò),。正因如此,，著名數(shù)學(xué)史家鮑耶（C.B.Boyer，1906-1976年）將花拉子密稱為“代數(shù)學(xué)之父”,。

花拉子密的工作很快被阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約公元850-930年）等阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家繼承并發(fā)展,。雖然花拉子密的《代數(shù)學(xué)》在12世紀(jì)初已被譯成拉丁文并開始在伊比利亞半島傳播,，但對花拉子密代數(shù)思想在歐洲傳播起到關(guān)鍵作用的是意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Fibonacci，約1170-1250）,。斐波那契在其著作《計算之書》（Liber Abaci,，1202）中系統(tǒng)介紹了印度－阿拉伯?dāng)?shù)碼，二次和三次方程以及不定方程理論,。斐波那契參閱了卡米爾的代數(shù)學(xué)著作,，并指出與一元二次方程有關(guān)的理論源自花拉子密?！队嬎阒畷穼Ω淖儦W洲數(shù)學(xué)的面貌產(chǎn)生了很大影響,，并最終引導(dǎo)了16世意大利代數(shù)方程求解方向的突破。

隨著歐洲人在代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的深入研究,，包括一元二次方程在內(nèi)的數(shù)學(xué)知識進一步向前發(fā)展,。法國數(shù)學(xué)家韋達（F.Vieta，1540-1603）給出了代數(shù)方程的近似解法與代數(shù)方程的多項式分解因式解法,，并將數(shù)學(xué)符號系統(tǒng)化,。1637年，笛卡兒（René Descartes,，1596-1650）完成了對韋達代數(shù)符號的改進并首次應(yīng)用待定系數(shù)法將四次方程分解成兩個二次方程求解,。