初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）、指數(shù)函數(shù)（exponential function）,、對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）,、三角函數(shù)（trigonometric function）、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算（加,、減,、乘、除,、有理數(shù)次乘方,、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù),。

函數(shù)概念

初等函數(shù)

初等函數(shù)是由冪函數(shù)（power function）,、指數(shù)函數(shù)（exponential function）,、對數(shù)函數(shù)（logarithmic function）,、三角函數(shù)（trigonometric function）、反三角函數(shù)（inverse trigonometric function）與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算（加,、減,、乘、除,、有理數(shù)次乘方,、有理數(shù)次開方）及有限次函數(shù)復合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù),。

它是最常用的一類函數(shù),，包括常函數(shù)、冪函數(shù),、指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù),、反三角函數(shù)（以上是基本初等函數(shù)）,，以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或函數(shù)的復合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或有限次的函數(shù)復合所構成并可以用一個解析式表出的函數(shù),，稱為初等函數(shù),。

還有一系列雙曲函數(shù)也是初等函數(shù)，如sinh的名稱是雙曲正弦或超正弦,，cosh是雙曲余弦或超余弦,，tanh是雙曲正切,，coth是雙曲余切，sech是雙曲正割,，csch是雙曲余割,。初等函數(shù)在其定義區(qū)間內一定連續(xù)。

一個初等函數(shù),，除了可以用初等解析式表示以外,，往往還有其他表示形式。例如,，三角函數(shù)y=sinx可以用無窮級數(shù)表為y=x-x3/3! x5/5!-…初等函數(shù)是最先被研究的一類函數(shù),，它與人類的生產(chǎn)和生活密切相關，并且應用廣泛,。為了方便,，人們編制了各種函數(shù)表，如平方表,、開方表,、對數(shù)表、三角函數(shù)表等,。

有理函數(shù)

實系數(shù)多項式稱為整有理函數(shù),。其中最簡單的是線性函數(shù)y=α0 α1x，它的圖象是過y軸上y=α0點的斜率為α1的直線,。二次整有理函數(shù)y=α0 α1x α2x2的圖象為拋物線,。

兩個整有理函數(shù)之比為分式有理函數(shù)。分式有理函數(shù)其中最簡單的是反比例函數(shù),，其圖象為雙曲線,。整有理函數(shù)和分式有理函數(shù)統(tǒng)稱有理函數(shù)。有理函數(shù)起源于代數(shù)學,。

兩個復系數(shù)的多項式之比為有理函數(shù),，它實現(xiàn)擴充的復平面到自身的解析映射。分式線性函數(shù)是一個特殊的有理函數(shù),，它在復分析中有重要的意義,。另一個特殊情形是冪函數(shù)w=zn，n是自然數(shù),，它在全平面是解析的,。因此當n≥2時，它在全平面除z=0以外到處實現(xiàn)共形映射（保角映射）,。它將圓周|z|=r變?yōu)閳A周|w|=rn,，將射線argz=θ變?yōu)樯渚€argw=nθ。任何一個區(qū)域,只要該區(qū)域中任兩點的輻角差小于2π/n,，它就是w=zn的單葉性區(qū)域,。冪函數(shù)w=zn的反函數(shù)為根式函數(shù),，它有n個值(k=0，1,，…,，n-1)，稱為它的分支,。它們在任何區(qū)域θ1z<θ1 2π中都單值解析,。

代數(shù)函數(shù)

求有理函數(shù)的反函數(shù)則可產(chǎn)生代數(shù)函數(shù)。如y=xn的反函數(shù)為x=yn,。

超越函數(shù)

超越函數(shù)指變量之間的關系不能用有限次加,、減、乘,、除,、乘方、開方運算表示的函數(shù),。如指數(shù)函數(shù),、對數(shù)函數(shù)、反三角函數(shù)等就屬于超越函數(shù),。

常用函數(shù)

常函數(shù)

對定義域中的一切x對應的函數(shù)值都取某個固定常數(shù)的函數(shù),。

三角函數(shù)

三角函數(shù)是起源于幾何學的最簡單的超越函數(shù)。

初等三角函數(shù)包括正弦函數(shù)y=sinx,、余弦函數(shù)y=cosx,、正切函數(shù)y=tanx,、余切函數(shù)y=cotx,、正割函數(shù)y=secx和余割函數(shù)y=cscx。高等分析學中用弧度制計量角度,，即以單位圓周上的弧段量度相應的圓心角,。

指數(shù)函數(shù)

形如的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù),。

對數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)的反函數(shù),，式中a為不等于1的正常數(shù)，定義域是零到正無窮的開區(qū)間,。

雙曲函數(shù)

由指數(shù)函數(shù)經(jīng)有理運算可導出雙曲函數(shù),。其性質與三角函數(shù)很相似。sinhx,、coshx分別稱為雙曲正弦和雙曲余弦,。像三角函數(shù)一樣，由它們導出的雙曲正切tanhx=sinhx/coshx和雙曲余切cothx=coshx/sinhx等都稱為雙曲函數(shù),。

它們有如下的幾何解釋,，即雙曲線x2-y2=1(x>0)上取一點M,，又令O為原點，N=(1,0),，將ON,，OM和雙曲線上的弧所圍面積記為θ/2，點M的坐標視為θ的函數(shù),，并記為coshθ和sinhθ,，即有表示式cosh2θ-sinh2θ=1。

冪函數(shù)

形如的函數(shù),，式中a為實常數(shù),。

一般地，形如（a為常數(shù)）的函數(shù),，即以底數(shù)為自變量,，冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù),。例如函數(shù)y=x,、y=x2、y=1/x（注：y=1/x=x-1）等都是冪函數(shù),。

數(shù)域推廣

復變三角函數(shù)

例如將y=sinx和y=cosx中變量x換為復變量z,，則得到復變三角函數(shù)w=sinz和w=cosz，它們是整函數(shù),。tanz=sinz/cosz,，cotz=cosz/sinz等是z的亞純函數(shù)。它們具有實三角函數(shù)的很多類似性質：周期性,、微商性質,、三角恒等式等。但|sinz|≤1,，|cosz|≤1不是對任何z都成立,。三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)密切聯(lián)系，因此應用時很方便,。sinz的單葉性區(qū)域將Gk單葉并共形地映為全平面上除去實軸上線段[-1,，1]和負虛軸后得到的區(qū)域；它將Rk單葉并共形地映為全平面除去實軸上兩條射線( ,-1]和[1, )后得到的區(qū)域,。類似地可以指出cosz的單葉性區(qū)域,。

復變指數(shù)函數(shù)

在指數(shù)函數(shù)式w=ex中將x換為復變量z，便得到復變指數(shù)函數(shù)w=ez,。復變指數(shù)函數(shù)有類似于實指數(shù)函數(shù)的性質：ez是一整函數(shù)且對任何復數(shù)z,，ez≠0；它滿足ez1·ez2=ez1 z2；ez以2kπi為周期,，ez=ez 2kπi,；并且它的導數(shù)與本身相同，即 (ez)'=ez,。函數(shù)w=ez在全平面實現(xiàn)共形映射,。任何一個區(qū)域，只要對區(qū)域內任兩點,，其虛部之差小于2π,，它就是ez的單葉性區(qū)域。例如,，指數(shù)函數(shù)把直線x=x0變?yōu)閳A周,，把直線y=y0變?yōu)樯渚€argw=y0，因而把區(qū)域Sk變?yōu)閰^(qū)域0w<2π,，把寬度為β的帶形區(qū)域α0<α0 β(β≤2π)變?yōu)殚_度為β的角形域α0w<α0 β,。

復變對數(shù)函數(shù)

對數(shù)函數(shù)w=lnz是指數(shù)函數(shù)w=ez的反函數(shù)，它有無窮多個值2kπ（k為整數(shù)）,，稱為它的分支,。每一個分支在區(qū)域θ0z<θ0 2π中是解析的。對數(shù)函數(shù)把這個區(qū)域單葉地變?yōu)閹螀^(qū)域θ0w<θ0 2π,，也把開度為β的角形域θ0z<θ0 β(β≤2π)變?yōu)閷挾葹棣碌膸螀^(qū)域θ0w<θ0 β,。像實對數(shù)函數(shù)一樣，它滿足lnz1 lnz2=ln(z1·z2),。

復變反三角函數(shù)

w=arcsinz,，w=arccosz，w=arctanz分別是sinz,，cosz和tanz的反函數(shù),，并稱復變反三角函數(shù)。它們能由對數(shù)函數(shù)合成,。它們都是多值函數(shù),。

復變雙曲函數(shù)

將實雙曲函數(shù)推廣到復數(shù)域得復變雙曲函數(shù),。像實雙曲函數(shù)一樣,，復變雙曲函數(shù)能由復變指數(shù)函數(shù)合成。

復變冪函數(shù)

將實冪函數(shù)的實變量用復數(shù)替換即得復變冪函數(shù),。一般來說,，它是多值函數(shù)。

導數(shù)函數(shù)

一般初等函數(shù)的導數(shù)還是初等函數(shù),，但初等函數(shù)的不定積分不一定是初等函數(shù),。另外初等函數(shù)的反函數(shù)不一定是初等函數(shù)。

常見定義

1.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合所得到的函數(shù),，稱為初等函數(shù),。

2.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合構成,，并且是用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函數(shù),。

3.由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次四則運算及有限次復合構成,，并且可以用一個解析式表達的函數(shù)，稱為初等函,。