三角函數(shù)是基本初等函數(shù)之一,，是以角度（數(shù)學(xué)上最常用弧度制，下同）為自變量,，角度對應(yīng)任意角終邊與單位圓交點坐標或其比值為因變量的函數(shù),。也可以等價地用與單位圓有關(guān)的各種線段的長度來定義。三角函數(shù)在研究三角形和圓等幾何形狀的性質(zhì)時有重要作用,，也是研究周期性現(xiàn)象的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)工具,。在數(shù)學(xué)分析中，三角函數(shù)也被定義為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,，允許它們的取值擴展到任意實數(shù)值,，甚至是復(fù)數(shù)值。

常見的三角函數(shù)包括正弦函數(shù),、余弦函數(shù)和正切函數(shù),。在航海學(xué)、測繪學(xué),、工程學(xué)等其他學(xué)科中,，還會用到如余切函數(shù)、正割函數(shù),、余割函數(shù),、正矢函數(shù)、余矢函數(shù),、半正矢函數(shù),、半余矢函數(shù)等其他的三角函數(shù)。不同的三角函數(shù)之間的關(guān)系可以通過幾何直觀或者計算得出,，稱為三角恒等式,。

三角函數(shù)一般用于計算三角形中未知長度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航,、工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途,。另外，以三角函數(shù)為模版,，可以定義一類相似的函數(shù),，叫做雙曲函數(shù)。常見的雙曲函數(shù)也被稱為雙曲正弦函數(shù),、雙曲余弦函數(shù)等等,。三角函數(shù)（也叫做圓函數(shù)）是角的函數(shù)；它們在研究三角形和建模周期現(xiàn)象和許多其他應(yīng)用中是很重要的,。三角函數(shù)通常定義為包含這個角的直角三角形的兩個邊的比率,，也可以等價的定義為單位圓上的各種線段的長度。更現(xiàn)代的定義把它們表達為無窮級數(shù)或特定微分方程的解,，允許它們擴展到任意正數(shù)和負數(shù)值,，甚至是復(fù)數(shù)值,。

發(fā)展歷史

起源

公元五世紀到十二世紀，印度數(shù)學(xué)家對三角學(xué)作出了較大的貢獻,。盡管當時三角學(xué)仍然還是天文學(xué)的一個計算工具,，是一個附屬品，但是三角學(xué)的內(nèi)容卻由于印度數(shù)學(xué)家的努力而大大的豐富了,。

三角學(xué)中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學(xué)家首先引進的,，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。

托勒密和希帕克造出的弦表是圓的全弦表,，它是把圓弧同弧所夾的弦對應(yīng)起來的,。印度數(shù)學(xué)家不同，他們把半弦（AC）與全弦所對弧的一半（AD）相對應(yīng),，即將AC與∠AOC對應(yīng),，這樣，他們造出的就不再是”全弦表”,，而是”正弦表”了,。

印度人稱連結(jié)弧（AB）的兩端的弦（AB）為”吉瓦（jiba）”,，是弓弦的意思,；稱AB的一半（AC）為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”,、”凹處”,，阿拉伯語是”dschaib”。十二世紀,，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文,，這個字被意譯成了”sinus”。

古希臘歷史

早期對于三角函數(shù)的研究可以追溯到古代,。古希臘三角術(shù)的奠基人是公元前2世紀的喜帕恰斯,。他按照古巴比倫人的做法，將圓周分為360等份（即圓周的弧度為360度,，與現(xiàn)代的弧度制不同）,。對于給定的弧度，他給出了對應(yīng)的弦的長度數(shù)值,，這個記法和現(xiàn)代的正弦函數(shù)是等價的,。喜帕恰斯實際上給出了最早的三角函數(shù)數(shù)值表。然而古希臘的三角學(xué)基本是球面三角學(xué),。這與古希臘人研究的主體是天文學(xué)有關(guān)。梅涅勞斯在他的著作《球面學(xué)》中使用了正弦來描述球面的梅涅勞斯定理,。古希臘三角學(xué)與其天文學(xué)的應(yīng)用在埃及的托勒密時代達到了高峰,，托勒密在《數(shù)學(xué)匯編》（Syntaxis Mathematica）中計算了36度角和72度角的正弦值,，還給出了計算和角公式和半角公式的方法。托勒密還給出了所有0到180度的所有整數(shù)和半整數(shù)弧度對應(yīng)的正弦值,。

古希臘文化傳播到古印度后,，古印度人對三角術(shù)進行了進一步的研究。公元5世紀末的數(shù)學(xué)家阿耶波多提出用弧對應(yīng)的弦長的一半來對應(yīng)半弧的正弦,，這個做法被后來的古印度數(shù)學(xué)家使用,，和現(xiàn)代的正弦定義一致了。阿耶波多的計算中也使用了余弦和正割,。他在計算弦長時使用了不同的單位,，重新計算了0到90度中間隔三又四分之三度（3.75°）的三角函數(shù)值表。然而古印度的數(shù)學(xué)與當時的中國一樣,，停留在計算方面,，缺乏系統(tǒng)的定義和演繹的證明。阿拉伯人也采用了古印度人的正弦定義,，但他們的三角學(xué)是直接繼承于古希臘,。阿拉伯天文學(xué)家引入了正切和余切、正割和余割的概念,，并計算了間隔10分（10′）的正弦和正切數(shù)值表,。到了公元14世紀，阿拉伯人將三角計算重新以算術(shù)方式代數(shù)化（古希臘人采用的是建立在幾何上的推導(dǎo)方式）的努力為后來三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來,，成為了有更廣泛應(yīng)用的學(xué)科奠定了基礎(chǔ),。

阿拉伯歷史

進入15世紀后，阿拉伯數(shù)學(xué)文化開始傳入歐洲,。隨著歐洲商業(yè)的興盛,，航行、歷法測定和地理測繪中出現(xiàn)了對三角學(xué)的需求,。在翻譯阿拉伯數(shù)學(xué)著作的同時,，歐洲數(shù)學(xué)家開始制作更詳細精確的三角函數(shù)值表。哥白尼的學(xué)生喬治·約阿希姆·瑞提克斯制作了間隔10秒（10″）的正弦表,，有9位精確值,。瑞提克斯還改變了正弦的定義，原來稱弧對應(yīng)的弦長是正弦,，瑞提克斯則將角度對應(yīng)的弦長稱為正弦,。16世紀后，數(shù)學(xué)家開始將古希臘有關(guān)球面三角的結(jié)果和定理轉(zhuǎn)化為平面三角定理,。弗朗索瓦·韋達給出了托勒密的不少結(jié)果對應(yīng)的平面三角形式,。他還嘗試計算了多倍角正弦的表達方式。

18世紀開始,，隨著解析幾何等分析學(xué)工具的引進,，數(shù)學(xué)家們開始對三角函數(shù)進行分析學(xué)上的研究,。牛頓在1669年的《分析學(xué)》一書中給出了正弦和余弦函數(shù)的無窮級數(shù)表示。Collins將牛頓的結(jié)果告訴了詹姆斯·格列高里,，后者進一步給出了正切等三角函數(shù)的無窮級數(shù),。萊布尼茲在1673年左右也獨立得到了這一結(jié)果。歐拉的《無窮小量分析引論》（Introductio in Analysin Infinitorum,，1748年）對建立三角函數(shù)的分析處理做了最主要的貢獻,，他定義三角函數(shù)為無窮級數(shù)，并表述了歐拉公式,，還有使用接近現(xiàn)代的簡寫sin.,、cos.、tang.,、cot.,、sec.和cosec.。

弦表的發(fā)明

根據(jù)認識,，弦表的制作似應(yīng)該是由一系列不同的角出發(fā),，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC,，A’C’,，A’’C’’…之間的距離。然而,，第一張弦表制作者希臘文學(xué)家希帕克（Hipparchus,，約前180~前125）不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內(nèi),，去計算給定度數(shù)的圓弧AB所對應(yīng)的弦AB的長,。這就是說，希帕克是靠計算,，而不是靠工具量出弦長來制表的,，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳,，關(guān)于希帕克在三角學(xué)上的成就,，是從公元二世紀希臘著名天文學(xué)家托勒密的遺著《天文集》中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克,，但事實上不少是他自己的創(chuàng)造,。

據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長,，他們采用了巴比倫人的60進位法,。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份,，每一小份又等分為60份,，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后,，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后來,，這兩個名字演變?yōu)椤眒inute”和”second”,，成為角和時間的度量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。

建立了半徑與圓周的度量單位以后,，希帕克和托勒密先著手計算一些特殊圓弧所對應(yīng)的弦長,。比如60°弧（1/6圓周長）所對的弦長,，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長,，它與半徑相等，因此得出60°弧對應(yīng)的弦值是60個半徑單位（半徑長的1/60為一個單位）,；用同樣的方法,，可以算出120°弧、90°弧以及72°弧所對應(yīng)的弦值,。有了這些弧所對應(yīng)的弦值,，接著就利用所稱的”托勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長,，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長,。正是基于這樣一種幾何上的推算。他們終于造出了世界上第一張弦表,。

傳入中國

三角學(xué)輸入中國,，開始于明崇禎4年（公元1631年），這年鄧玉函,、湯若望和徐光啟合編《大測》,，作為歷書的一部份呈獻給朝廷，這是中國第一部編譯的三角學(xué),。在《大測》中,，首先將sine譯為”正半弦”，簡稱”正弦”,，這就成了“正弦”一詞的由來,。

定義

直角三角形三角函數(shù)定義

在直角三角形中，當平面上的三點A,、B,、C的連線，AB、AC,、BC,，構(gòu)成一個直角三角形，其中∠ACB為直角,。對∠BAC而言,，對邊（opposite）a=BC、斜邊（hypotenuse）c=AB,、鄰邊（adjacent）b=AC,，則存在以下關(guān)系：

基本函數(shù) 英文 縮寫 表達式 語言描述

正弦函數(shù) sine sin a/c ∠A的對邊比斜邊

余弦函數(shù) cosine cos b/c ∠A的鄰邊比斜邊

正切函數(shù) tangent tan a/b ∠A的對邊比鄰邊

余切函數(shù) cotangent cot b/a ∠A的鄰邊比對邊

正割函數(shù) secant sec c/b ∠A的斜邊比鄰邊

余割函數(shù) cosecant csc c/a ∠A的斜邊比對邊

注：正切函數(shù)、余切函數(shù)曾被寫作tg,、ctg,，現(xiàn)已不用這種寫法。

單位圓定義

六個三角函數(shù)也可以依據(jù)半徑為1中心為原點的單位圓來定義,。單位圓定義在實際計算上沒有大的價值,；實際上對多數(shù)角它都依賴于直角三角形。但是單位圓定義的確允許三角函數(shù)對所有正數(shù)和負數(shù)輻角都有定義,，而不只是對于在0和π/2弧度之間的角,。它也提供了一個圖像，把所有重要的三角函數(shù)都包含了,。根據(jù)勾股定理,，單位圓的方程是：對于圓上的任意點（x,y），x2 y2=1,。

圖像中給出了用弧度度量的一些常見的角:逆時針方向的度量是正角,，而順時針的度量是負角。設(shè)一個過原點的線,，同x軸正半部分得到一個角θ,，并與單位圓相交。這個交點的x和y坐標分別等于cosθ和sinθ,。圖像中的三角形確保了這個公式,；半徑等于斜邊且長度為1，所以有sinθ=y/1和cosθ=x/1,。單位圓可以被視為是通過改變鄰邊和對邊的長度,，但保持斜邊等于1的一種查看無限個三角形的方式。

對于大于2π或小于等于2π的角度,，可直接繼續(xù)繞單位圓旋轉(zhuǎn),。在這種方式下，正弦和余弦變成了周期為2π的周期函數(shù)：對于任何角度θ和任何整數(shù)k,。

周期函數(shù)的最小正周期叫做這個函數(shù)的“基本周期”,。正弦,、余弦、正割或余割的基本周期是全圓,，也就是2π弧度或360°,；正切或余切的基本周期是半圓，也就是π弧度或180°,。上面只有正弦和余弦是直接使用單位圓定義的,，其他四個三角函數(shù)的定義如圖所示。

在正切函數(shù)的圖像中,，在角kπ附近變化緩慢,，而在接近角（k 1/2）π的時候變化迅速。正切函數(shù)的圖像在θ=（k 1/2）π有垂直漸近線,。這是因為在θ從左側(cè)接進（k 1/2）π的時候函數(shù)接近正無窮，而從右側(cè)接近（k 1/2）π的時候函數(shù)接近負無窮,。

另一方面,，所有基本三角函數(shù)都可依據(jù)中心為O的單位圓來定義,，類似于歷史上使用的幾何定義,。特別是，對于這個圓的弦AB,，這里的θ是對向角的一半,，sinθ是AC（半弦）,，這是印度的阿耶波多介入的定義。cosθ是水平距離OC,，versinθ=1-cosθ是CD,。tanθ是通過A的切線的線段AE的長度，所以這個函數(shù)才叫正切,。cotθ是另一個切線段AF,。secθ=OE和cscθ=OF是割線（與圓相交于兩點）的線段，所以可以看作OA沿著A的切線分別向水平和垂直軸的投影,。DE是exsecθ=secθ-1（正割在圓外的部分）,。通過這些構(gòu)造，容易看出正割和正切函數(shù)在θ接近π/2的時候發(fā)散,，而余割和余切在θ接近零的時候發(fā)散,。

依據(jù)單位圓定義，可以做三個有向線段（向量）來表示正弦,、余弦,、正切的值。如圖所示,，圓O是一個單位圓,，P是α的終邊與單位圓上的交點,，M點是P在x軸的投影，A（1,0）是圓O與x軸正半軸的交點,，過A點做過圓O的切線,。

那么向量MP對應(yīng)的就是α的正弦值，向量OM對應(yīng)的就是余弦值,。OP的延長線（或反向延長線）與過A點的切線的交點為T,，則向量AT對應(yīng)的就是正切值。向量的起止點不能顛倒,，因為其方向是有意義的,。

借助線三角函數(shù)線，觀察到第二象限角α的正弦值為正,，余弦值為負,，正切值為負。

級數(shù)定義

只使用幾何和極限的性質(zhì),，可以證明正弦的導(dǎo)數(shù)是余弦,，余弦的導(dǎo)數(shù)是負的正弦。（在微積分中,，所有角度都以弧度來度量）,。接著使用泰勒級數(shù)的理論來證明下列恒等式對于所有實數(shù)x都成立：

這些恒等式經(jīng)常被用做正弦和余弦函數(shù)的定義。它們經(jīng)常被用做三角函數(shù)的嚴格處理和應(yīng)用的起點（比如,，在傅里葉級數(shù)中）,，因為無窮級數(shù)的理論可從實數(shù)系的基礎(chǔ)上發(fā)展而來，不需要任何幾何方面的考慮,。這樣,，這些函數(shù)的可微性和連續(xù)性便可以單獨從級數(shù)定義來確立。

三角學(xué)

“三角學(xué)”,，英文Trigonometry?，F(xiàn)代三角學(xué)一詞最初見于希臘文。最先使用Trigonometry這個詞的是皮蒂斯楚斯（Bartholomeo Pitiscus,1516-1613）,，他在1595年出版一本著作《三角學(xué)：解三角學(xué)的簡明處理》,，創(chuàng)造了這個新詞。它是由τριγωυου（三角形）及μετρει υ（測量）兩字構(gòu)成的,，原意為三角形的測量,，或者說解三角形。古希臘文里沒有這個字,，原因是當時三角學(xué)還沒有形成一門獨立的科學(xué),，而是依附于天文學(xué)。因此解三角形構(gòu)成了古代三角學(xué)的實用基礎(chǔ),。

早期的解三角形是因天文觀測的需要而引起的,。還在很早的時候,，由于墾殖和畜牧的需要，人們就開始作長途遷移,；后來,，貿(mào)易的發(fā)展和求知的欲望，又推動他們?nèi)ラL途旅行,。在當時,，這種遷移和旅行是一種冒險的行動。人們穿越無邊無際,、荒無人煙的草地和原始森林,，或者經(jīng)水路沿著海岸線作長途航行，無論是那種方式,，都首先要明確方向,。那時，人們白天拿太陽作路標,，夜里則以星星為指路燈,。太陽和星星給長期跋山涉水的商隊指出了正確的道路，也給那些沿著遙遠的異域海岸航行的人指出了正確的道路,。

就這樣，最初的以太陽和星星為目標的天文觀測,，以及為這種觀測服務(wù)的原始的三角測量就應(yīng)運而生了,。因此可以說，三角學(xué)是緊密地同天文學(xué)相聯(lián)系而邁出自己發(fā)展史的第一步的,。

三角學(xué)問題的提出：三角學(xué)理論的基礎(chǔ),，是對三角形各元素之間相依關(guān)系的認識。一般認為,，這一認識最早是由希臘天文學(xué)家獲得的,。當時，希臘天文學(xué)家為了正確地測量天體的位置,。研究天體的運行軌道,，力求把天文學(xué)發(fā)展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎(chǔ)之具有定量分析的科學(xué)。他們給自己提出的第一個任務(wù)是解直角三角形,，因為進行天文觀測時,，人與星球以及大地的位置關(guān)系，通常是以直角三角形邊角之間的關(guān)系反映出來的,。在很早以前,，希臘天文學(xué)家從天文觀測的經(jīng)驗中獲得了這樣一個認識：星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所采用的角度來反映的；角度（∠ABC）越大,，星球距地面（AC）就越高,。然而,，星球的高度與人觀測的角度之間在數(shù)量上究竟怎么樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢,？這就是天文學(xué)向數(shù)學(xué)提出的第一個課題－制造弦表,。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表,，AC的長度與∠ABC的大小之間的對應(yīng)關(guān)系,。

獨立三角學(xué)的產(chǎn)生：雖然后期的阿拉伯數(shù)學(xué)家已經(jīng)開始對三角學(xué)進行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學(xué)從天文學(xué)中獨立出來的表現(xiàn),，但是嚴格地說,，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨立的三角學(xué)。真正把三角學(xué)作為數(shù)學(xué)的一個獨立學(xué)科加以系統(tǒng)敘述的,，是德國數(shù)學(xué)家雷基奧蒙坦納斯,。

雷基奧蒙坦納斯是十五世紀最有聲望的德國數(shù)學(xué)家約翰·謬勒的筆名。他生于哥尼斯堡,，年輕時就積極從事歐洲文藝復(fù)興時期作品的收集和翻譯工作,，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數(shù)學(xué)家們在三角方面的工作比較了解,。

1464年,，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表了《論各種三角形》。在書中,，他把以往散見在各種書上的三角學(xué)知識,，系統(tǒng)地綜合了起來，成了三角學(xué)在數(shù)學(xué)上的一個分支,，現(xiàn)代三角學(xué)的確認：直到十八世紀,，所有的三角量：正弦、余弦,、正切,、余切、正割和余割,，都始終被認為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關(guān)的某些線段,，即三角學(xué)是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學(xué)的古典面貌,。三角學(xué)的現(xiàn)代特征,，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對應(yīng)的函數(shù)值,。這方面的工作是由歐拉作出的,。1748年，歐拉發(fā)表著名的《無窮小分析引論》一書,，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”,。具體地說,，任意一個角的三角函數(shù)，都可以認為是以這個角的頂點為圓心,，以某定長為半徑作圓,，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP,、OM,、MP（即函數(shù)線）相互之間所取的比值，sinα=MP/OP,，cosα=OM/OP,，tanα=MP/OM等。若令半徑為單位長,，那么所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化,。

歐拉的這個定義使三角學(xué)從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程,，從而使三角學(xué)成為一門具有現(xiàn)代特征的分析性學(xué)科,。正如歐拉所說，引進三角函數(shù)以后,，原來意義下的正弦等三角量,，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關(guān)系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出,。這樣,，就使得從希帕克起許多數(shù)學(xué)家為之奮斗而得出的三角關(guān)系式，有了堅實的理論依據(jù),，而且大大地豐富了,。嚴格地說,，這時才是三角學(xué)的真正確立,。

誘導(dǎo)公式

定名法則

90°的奇數(shù)倍 α的三角函數(shù)，其絕對值與α三角函數(shù)的絕對值互為余函數(shù),。90°的偶數(shù)倍 α的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)絕對值相同,。也就是“奇余偶同，奇變偶不變”,。

定號法則

將α看做銳角（注意是“看做”）,，按所得的角的象限，取三角函數(shù)的符號,。也就是“象限定號,，符號看象限”（或為“奇變偶不變，符號看象限”）,。

在Kπ/2中如果K為偶數(shù)時函數(shù)名不變,，若為奇數(shù)時函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名,。正負號看原函數(shù)中α所在象限的正負號。關(guān)于正負號有個口訣,；一全正,，二正弦，三兩切,，四余弦,，即第一象限全部為正，第二象限角,，正弦為正,，第三象限，正切和余切為正,，第四象限,，余弦為正?；蚝唽憺椤癆STC”,，即“all”“sin”“tan cot”“cos”依次為正。還可簡記為：sin上cos右tan/cot對角,，即sin的正值都在x軸上方,，cos的正值都在y軸右方，tan/cot的正值斜著,。

比如：90° α,。定名：90°是90°的奇數(shù)倍，所以應(yīng)取余函數(shù),；定號：將α看做銳角,，那么90° α是第二象限角，第二象限角的正弦為正,，余弦為負,。所以sin（90° α）=cosα,cos（90° α）=-sinα這個非常神奇，屢試不爽~

還有一個口訣“縱變橫不變,，符號看象限”,，例如：sin（90° α），90°的終邊在縱軸上,，所以函數(shù)名變?yōu)橄喾吹暮瘮?shù)名,，即cos，所以sin（90° α）=cosα,。

概念

定義域和值域

sin（x）,，cos（x）的定義域為R，值域為[-1,1]。

tan（x）的定義域為x不等于π/2 kπ（k∈Z）,，值域為R,。

cot（x）的定義域為x不等于kπ（k∈Z）,值域為R。

y=a·sin（x） b·cos（x） c的值域為[c-√（a2 b2）,c √（a2 b2）]

周期T=2π/ω

函數(shù)圖象畫法

以y=sinx的圖像為例,，得到y(tǒng)=Asin（ωx φ）的圖像：

方法一：

y=sinx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣∣∣φ∣個單位】→y=sin（x φ）→【縱坐標不變,，橫坐標伸縮到原來的（1/ω）】→y=sin（ωx φ）→【縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（伸長[A>1]/縮短[0<A<1]）】

方法二：

y=sinx→【縱坐標不變，橫坐標伸縮到原來的（1/ω）】→y=sinωx→【左移（φ>0）/右移（φ<0）∣φ∣/ω個單位】→y=sin（ωx φ）→【縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（伸長[A>1]/縮短[0<A<1]）】→y=Asin（ωx φ）

倍半角規(guī)律

如果角a的余弦值為1/2,，那么a/2的余弦值為√3/2.

三角函數(shù)的反函數(shù)

三角函數(shù)的反函數(shù),，是多值函數(shù)。它們是反正弦arcsin x,，反余弦arccos x,，反正切arctan x，反余切arccot x等,，各自表示其正弦,、余弦、正切,、余切,、正割、余割為x的角,。為限制反三角函數(shù)為單值函數(shù),，將反正弦函數(shù)的值y限在y=-π/2≤y≤π/2，將y為反正弦函數(shù)的主值,，記為y=arcsin x,；相應(yīng)地，反余弦函數(shù)y=arccos x的主值限在0≤y≤π,；反正切函數(shù)y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2,；反余切函數(shù)y=arccot x的主值限在0<y<π。

反三角函數(shù)實際上并不能叫做函數(shù),，因為它并不滿足一個自變量對應(yīng)一個函數(shù)值的要求,，其圖像與其原函數(shù)關(guān)于函數(shù)y=x對稱。其概念首先由歐拉提出,，并且首先使用了arc 函數(shù)名的形式表示反三角函數(shù),，而不是f-1（x）.

反三角函數(shù)主要是三個：

y=arcsin（x）,，定義域[-1,1],，值域[-π/2,π/2]，圖象用紅色線條,；

y=arccos（x）,，定義域[-1,1]，值域[0,π],，圖象用藍色線條,；

y=arctan（x）,，定義域（-∞， ∞）,，值域（-π/2,π/2）,，圖象用綠色線條；

sinarcsin（x）=x,定義域[-1,1],值域[-π/2,π/2]

證明方法如下：設(shè)arcsin（x）=y,則sin（y）=x,，將這兩個式子代入上式即可得

其他幾個用類似方法可得,。

復(fù)數(shù)性質(zhì)

（1）對于z為實數(shù)y來說，復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)的性質(zhì)與通常所說的正余弦函數(shù)性質(zhì)是一樣的,。

（2）復(fù)數(shù)域內(nèi)正余弦函數(shù)在z平面是解析的,。

（3）在復(fù)數(shù)域內(nèi)不能再斷言|sinz|≦1,|cosz|≦1。

（4）sinz,、cosz分別為奇函數(shù),，偶函數(shù)，且以2π為周期,。

復(fù)數(shù)三角函數(shù)：

sin（a bi）=sinacosbi sinbicosa

=sinachb ishbcosa

cos（a-bi）=cosacosbi sinbisina

=cosachb ishbsina

tan（a bi）=sin（a bi）/cos（a bi）

cot（a bi）=cos（a bi）/sin（a bi）

sec（a bi）=1/cos（a bi）

csc（a bi）=1/sin（a bi）

相關(guān)定理

解釋

三角函數(shù),，正如其名稱那樣，在三角學(xué)中是十分重要的,，主要是因為正弦定理與余弦定理,。

同時在解決物理中的力學(xué)問題時也很重要，主要在于力與力之間的轉(zhuǎn)換,，并列出平衡方程,。

正弦定理

對于邊長為a,b和c而相應(yīng)角為A,B和C的三角形，有：

sinA/a=sinB/b=sinC/c

也可表示為：

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

變形：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

其中R是三角形的外接圓半徑,。

它可以通過把三角形分為兩個直角三角形并使用上述正弦的定義來證明,。在這個定理中出現(xiàn)的公共數(shù)（sinA）/a是通過A,B和C三點的圓的直徑的倒數(shù)。正弦定理用于在一個三角形中（1）已知兩個角和一個邊求未知邊和角（2）已知兩邊及其一邊的對角求其他角和邊的問題,。這是三角測量中常見情況,。

三角函數(shù)正弦定理可用于求得三角形的面積：

S=1/2absinC=1/2bcsinA=1/2acsinB

余弦定理

對于邊長為a、b,、c而相應(yīng)角為A,、B、C的三角形,，有：

a2 = b2 c2- 2bc·cosA

b2 = a2 c2 - 2ac·cosB

c2 = a2 b2 - 2ab·cosC

也可表示為：

cosC=（a2 b2 －c2）/ 2ab

cosB=（a2 c2 -b2）/ 2ac

cosA=（c2 b2 -a2）/ 2bc

這個定理也可以通過把三角形分為兩個直角三角形來證明,。余弦定理用于在一個三角形的兩個邊和一個角已知時確定未知的數(shù)據(jù)。

如果這個角不是兩條邊的夾角,，那么三角形可能不是唯一的（邊-邊-角）,。要小心余弦定理的這種歧義情況。

物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到相關(guān)知識。

函數(shù)介紹

正弦函數(shù)

主詞條：正弦函數(shù),。

格式：sin（θ）,。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比斜邊長度的比值求出,，函數(shù)值為上述比的比值,，也是csc（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：波形曲線,。

值域：-1~1,。

余弦函數(shù)

主詞條：余弦函數(shù)。

格式：cos（θ）,。

作用：在直角三角形中,，將大小為（單位為弧度）的角鄰邊長度比斜邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值,，也是sec（θ）的倒數(shù),。

函數(shù)圖像：波形曲線。

值域：-1~1,。

正切函數(shù)

主詞條：正切函數(shù),。

格式：tan（θ）。

作用：在直角三角形中,，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比鄰邊長度的比值求出,，函數(shù)值為上述比的比值，也是cot（θ）的倒數(shù),。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標系反映,。

值域：-∞~∞。

余切函數(shù)

主詞條：余切函數(shù),。

格式：cot（θ）,。

作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度比對邊長度的比值求出,，函數(shù)值為上述比的比值,，也是tan（θ）的倒數(shù)。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標系反映,。

值域：-∞~∞,。

正割函數(shù)

主詞條：正割函數(shù)。

格式：sec（θ）,。

作用：在直角三角形中,，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值,，也是cos（θ）的倒數(shù),。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標系反映。

值域：≥1或≤-1,。

余割函數(shù)

主詞條：余割函數(shù),。

格式：csc（θ）。

作用：在直角三角形中,，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度的比值求出,，函數(shù)值為上述比的比值，也是sin（θ）的倒數(shù),。

函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標系反映,。

值域：≥1或≤-1。

正矢函數(shù)

主詞條：正矢函數(shù),。

格式：versin（θ）,。

作用：在直角三角形中，求出1-cos（θ）（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為1-cos（θ）。

值域：0~2,。

余矢函數(shù)

主詞條：余矢函數(shù),。

格式：coversin（θ）。

作用：在直角三角形中,，求出1-sin（θ）（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。瘮?shù)值為1-sin（θ）,。

值域：0~2,。

半正矢函數(shù)

主詞條：半正矢函數(shù)。

格式：haversin（θ）,。

作用：在直角三角形中,，求出[1-cos（θ）]÷2（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大小）,，函數(shù)值為[1-cos（θ）]÷2,。

值域：0~1。

半余矢函數(shù)

主詞條：半余矢函數(shù),。

格式：hacoversin（θ）,。

作用：在直角三角形中，求出[1-sin（θ）]÷2（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為[1-sin（θ）]÷2。

值域：0~1,。

外正割函數(shù)

主詞條：外正割函數(shù),。

格式：exsec（θ）,。

作用：在直角三角形中，求出sec（θ）-1（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為sec（θ）-1。

外余割函數(shù)

主詞條：外余割函數(shù),。

格式：excsc（θ）,。

作用：在直角三角形中，求出csc（θ）-1（括號中填的是大小為θ（單位為弧度）的角的大?。?，函數(shù)值為csc（θ）-1。

記憶口訣

三角函數(shù)是函數(shù),，象限符號坐標注,。

函數(shù)圖像單位圓，周期奇偶增減現(xiàn),。

同角關(guān)系很重要,，化簡證明都需要。

正六邊形頂點處,，從上到下弦切割,。

中心記上數(shù)字一，連結(jié)頂點三角形,。

向下三角平方和,，倒數(shù)關(guān)系是對角。

頂點任意一函數(shù),，等于后面兩根除,。

誘導(dǎo)公式就是好，負化正后大化小,。

變成銳角好查表,，化簡證明少不了。

二的一半整數(shù)倍,，奇數(shù)化余偶不變,。

將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判,。

兩角和的余弦值,，化為單角好求值。

余弦積減正弦積,，換角變形眾公式,。

和差化積須同名，互余角度變名稱,。

計算證明角先行,，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名,。

保持基本量不變，繁難向著簡易變,。

逆反原則作指導(dǎo),，升冪降次和差積。

條件等式的證明,，方程思想指路明,。

萬能公式不一般,，化為有理式居先,。

公式順用和逆用，變形運用加巧用,。

一加余弦想余弦,，一減余弦想正弦。

冪升一次角減半,，升冪降次它為范,。

三角函數(shù)反函數(shù)，實質(zhì)就是求角度,。

先求三角函數(shù)值,，再判角取值范圍。

利用直角三角形,，形象直觀好換名,。

簡單三角的方程，化為最簡求解集,。