數(shù)列（sequence of number）,，是以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的一列有序的數(shù)。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項,。排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項）,，排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第2項，以此類推,，排在第n位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第n項,，通常用an表示。

著名的數(shù)列有斐波那契數(shù)列,，卡特蘭數(shù),，楊輝三角等。

由來

三角形數(shù)

傳說古希臘畢達哥拉斯（約公元前570-約公元前500年）學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題,，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù),。比如，他們研究過：

由于這些數(shù)可以用如圖1所示的三角形點陣表示,，他們就將其稱為三角形數(shù),。

正方形數(shù)

類似地,，被稱為正方形數(shù)，因為這些數(shù)能夠表示成正方形,。因此,，按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列。

概念

函數(shù)解釋

數(shù)列的函數(shù)理解：

①數(shù)列是一種特殊的函數(shù),。其特殊性主要表現(xiàn)在其定義域和值域上,。數(shù)列可以看作一個定義域為正整數(shù)集N*或其有限子集{1，2,，3,，…，n}的函數(shù),，其中的{1,，2，3,，…,，n}不能省略。

②用函數(shù)的觀點認識數(shù)列是重要的思想方法,，一般情況下函數(shù)有三種表示方法,，數(shù)列也不例外，通常也有三種表示方法：a.列表法,；b,。圖像法；c.解析法,。其中解析法包括以通項公式給出數(shù)列和以遞推公式給出數(shù)列,。

③函數(shù)不一定有解析式，同樣數(shù)列也并非都有通項公式,。

一般形式

數(shù)列的一般形式可以寫成

簡記為{an},。

項

數(shù)列中的項必須是數(shù),，它可以是實數(shù),，也可以是復(fù)數(shù)。

用符號{an}表示數(shù)列,，只不過是“借用”集合的符號,，它們之間有本質(zhì)上的區(qū)別：1.集合中的元素是互異的，而數(shù)列中的項可以是相同的,。2.集合中的元素是無序的,，而數(shù)列中的項必須按一定順序排列，也就是必須是有序的,。

分類

（1）有窮數(shù)列和無窮數(shù)列：

項數(shù)有限的數(shù)列為“有窮數(shù)列”（finite sequence）,；項數(shù)無限的數(shù)列為“無窮數(shù)列”（infinite sequence）,。

（2）正項數(shù)列：

數(shù)列的各項都是正數(shù)的為正項數(shù)列。

（3）遞增數(shù)列：

每一項都大于它的前一項的數(shù)列叫做遞增數(shù)列,；如：1,，2，3,，4,，5，6,，7,。

（4）遞減數(shù)列：

每一項都小于它的前一項的數(shù)列叫做遞減數(shù)列；如：8,，7,，6，5,，4,，3，2,，1,。

（5）擺動數(shù)列：

從第2項起，有些項大于它的前一項,，有些項小于它的前一項的數(shù)列叫做擺動數(shù)列（搖擺數(shù)列）,。

（6）周期數(shù)列：各項呈周期性變化的數(shù)列叫做周期數(shù)列（如三角函數(shù)）。

（7）常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列叫做常數(shù)數(shù)列（如：2,，2,，2，2,，2,，2，2,，2,，2）。

公式

（1）通項公式：數(shù)列的第N項an與項的序數(shù)n之間的關(guān)系可以用一個公式an=f(n)來表示,，這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式,，如。數(shù)列通項公式的特點：1）有些數(shù)列的通項公式可以有不同形式,，即不唯一,；2）有些數(shù)列沒有通項公式（如：素數(shù)由小到大排成一列2，3,，5,，7,，11，...）,。

（2）遞推公式：如果數(shù)列{an}的第n項與它前一項或幾項的關(guān)系可以用一個式子來表示,，那么這個公式叫做這個數(shù)列的遞推公式。數(shù)列遞推公式特點：1）有些數(shù)列的遞推公式可以有不同形式,，即不唯一,。2）有些數(shù)列沒有遞推公式，即有遞推公式不一定有通項公式,。

等差數(shù)列

定義

一般地,，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù),，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列（arithmetic sequence）,，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差（common difference），公差通常用字母d表示,，前n項和用Sn表示,。等差數(shù)列可以縮寫為A.P.（Arithmetic Progression）。

通項公式

an=a1 (n-1)d

其中,，n=1時a1=S1,；n≥2時an=Sn-Sn-1。

an=kn b(k,b為常數(shù))推導(dǎo)過程：an=dn a1-d令d=k,，a1-d=b則得到an=kn b,。

等差中項

由三個數(shù)a，A,，b組成的等差數(shù)列堪稱最簡單的等差數(shù)列,。這時，A叫做a與b的等差中項（arithmetic mean）,。有關(guān)系：A=(a b)÷2,。

前n項和

倒序相加法推導(dǎo)前n項和公式：

Sn=a1 a2 a3 ····· an=a1 (a1 d) (a1 2d) ······ [a1 (n-1)d]①

Sn=an an-1 an-2 ······ a1=an (an-d) (an-2d) ······ [an-(n-1)d]②

由① ②得2Sn=(a1 an) (a1 an) ······ (a1 an)（n個）=n(a1 an)

∴Sn=n(a1 an)÷2。

等差數(shù)列的前n項和等于首末兩項的和與項數(shù)乘積的一半：

Sn=n(a1 an)÷2=na1 n(n-1)d÷2

Sn=dn2÷2 n(a1-d÷2)

亦可得

a1=2sn÷n-an

an=2sn÷n-a1

有趣的是S2n-1=(2n-1)an,，S2n 1=(2n 1)an 1

性質(zhì)

（1）任意兩項am,，an的關(guān)系為：an=am (n-m)d，它可以看作等差數(shù)列廣義的通項公式,。

（2）從等差數(shù)列的定義,、通項公式,，前n項和公式還可推出：a1 an=a2 an-1=a3 an-2=…=ak an-k 1,，k∈N*。

（3）若m,，n,，p,，q∈N*，且m n=p q,，則有am an=ap aq,。

（4）對任意的k∈N*，有Sk,，S2k-Sk,，S3k-S2k，…,，Snk-S(n-1)k…成等差數(shù)列,。

應(yīng)用

日常生活中，人們常常用到等差數(shù)列如：在給各種產(chǎn)品的尺寸劃分級別時,，當(dāng)其中的最大尺寸與最小尺寸相差不大時,，常按等差數(shù)列進行分級。若為等差數(shù)列,，且有an=m,，am=n，則am n=0,。其于數(shù)學(xué)的中的應(yīng)用,，可舉例：快速算出從23到132之間6的整倍數(shù)有多少個，算法不止一種,，這里介紹用數(shù)列算令等差數(shù)列首項a1=24（24為6的4倍）,，等差d=6；于是令an=24 6(n-1)<=132即可解出n=19,。

等比數(shù)列

定義

一般地,，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),，這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列（geometric sequence）,。這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比（common ratio），公比通常用字母q表示,。

等比數(shù)列可以縮寫為G.P.（Geometric Progression）,。

等比中項

如果在a與b中間插入一個數(shù)G，使a,，G,，b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項,。

性質(zhì)

（1）若m,、n、p,、q∈N*,，且m n=p q,，則；

（2）在等比數(shù)列中,，依次每k項之和仍成等比數(shù)列,。

（3）從等比數(shù)列的定義、通項公式,、前n項和公式可以推出：

（4）等比中項：q,、r、p成等比數(shù)列,，則,，則為等比中項。

記,，則有,。

另外，一個各項均為正數(shù)的等比數(shù)列各項取同底對數(shù)后構(gòu)成一個等差數(shù)列,；反之,，以任一個正數(shù)C為底，用一個等差數(shù)列的各項做指數(shù)構(gòu)造冪,，則是等比數(shù)列,。在這個意義下，我們說：一個正項等比數(shù)列與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的,。

應(yīng)用

等比數(shù)列在生活中也是常常運用的,。如：銀行有一種支付利息的方式---復(fù)利。即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,，再計算下一期的利息,，也就是人們通常說的利滾利。按照復(fù)利計算本利和的公式：本利和=本金*(1 利率)^存期,。

等和數(shù)列

“等和數(shù)列”：在一個數(shù)列中,，如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和,。

對一個數(shù)列，如果其任意的連續(xù)k（k≥2）項的和都相等,，我們就把此數(shù)列叫做等和數(shù)列,，它的性質(zhì)是：必定是循環(huán)數(shù)列。