用符號(hào)“>”“<”表示大小關(guān)系的式子,，叫作不等式。用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式,。

通常不等式中的數(shù)是實(shí)數(shù),，字母也代表實(shí)數(shù)，不等式的一般形式為F(x,，y,，……，z)≤G(x,，y,，……，z)（其中不等號(hào)也可以為中某一個(gè)）,，兩邊的解析式的公共定義域稱(chēng)為不等式的定義域,，不等式既可以表達(dá)一個(gè)命題，也可以表示一個(gè)問(wèn)題,。

定義

一般地,，用純粹的大于號(hào)“>”、小于號(hào)“<”表示大小關(guān)系的式子,，叫作不等式。用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式,。

其中,，兩邊的解析式的公共定義域稱(chēng)為不等式的定義域,。

整式不等式：

整式不等式兩邊都是整式（即未知數(shù)不在分母上）。

一元一次不等式：含有一個(gè)未知數(shù)(即一元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式,。如3-x>0

同理,，二元一次不等式：含有兩個(gè)未知數(shù)(即二元),并且未知數(shù)的次數(shù)是1次(即一次)的不等式。

基本性質(zhì)

①如果x>y,，那么y<x,；如果y<x，那么x>y,；（對(duì)稱(chēng)性）

②如果x>y,，y>z；那么x>z,；（傳遞性）

③如果x>y,，而z為任意實(shí)數(shù)或整式，那么x z>y z,；（加法原則,，或叫同向不等式可加性）

④如果x>y，z>0,，那么xz>yz,；如果x>y，z<0,，那么xz<yz,；乘法原則）

⑤如果x>y，m>n,，那么x m>y n,；(充分不必要條件)

⑥如果x>y>0，m>n>0,，那么xm>yn,；

⑦如果x>y>0，xn>yn（n為正數(shù)),，xn<yn（n為負(fù)數(shù)）;

或者說(shuō),，不等式的基本性質(zhì)的另一種表達(dá)方式有：

①對(duì)稱(chēng)性；

②傳遞性,；

③加法單調(diào)性,，即同向不等式可加性；

④乘法單調(diào)性,；

⑤同向正值不等式可乘性,；

⑥正值不等式可乘方；

⑦正值不等式可開(kāi)方；

⑧倒數(shù)法則,。

如果由不等式的基本性質(zhì)出發(fā),，通過(guò)邏輯推理，可以論證大量的初等不等式,。

另,，不等式的特殊性質(zhì)有以下三種：

①不等式性質(zhì)1：不等式的兩邊同時(shí)加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變,；

②不等式性質(zhì)2：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)正數(shù),，不等號(hào)的方向不變；

③不等式性質(zhì)3：不等式的兩邊同時(shí)乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù),，不等號(hào)的方向變,。總結(jié)：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí),，它們的和有最小值,；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)，它們的積有最大值,。

常用定理

①不等式F（x）<G（x）與不等式G（x）>F（x）同解,。

②如果不等式F（x）<G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）

③如果不等式F（x）定義域被解析式H（x）的定義域所包含,，并且H（x）>0,，那么不等式F(x)H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0與不等式同解,；不等式F（x）G（x）

定理口訣

解不等式的途徑,，利用函數(shù)的性質(zhì)。對(duì)指無(wú)理不等式,，化為有理不等式,。

高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價(jià),。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化,，幫助解答作用大。

證不等式的方法,，實(shí)數(shù)性質(zhì)威力大,。求差與0比大小，作商和1爭(zhēng)高下,。

直接困難分析好,，思路清晰綜合法。非負(fù)常用基本式,，正面難則反證法,。

還有重要不等式,，以及數(shù)學(xué)歸納法。圖形函數(shù)來(lái)幫助,，畫(huà)圖,、建模、構(gòu)造法,。

注意事項(xiàng)

符號(hào)

不等式兩邊相加或相減同一個(gè)數(shù)或式子，不等號(hào)的方向不變,。（移項(xiàng)要變號(hào)）

不等式兩邊相乘或相除同一個(gè)正數(shù),，不等號(hào)的方向不變。（相當(dāng)系數(shù)化1,，這是得正數(shù)才能使用）

不等式兩邊乘或除以同一個(gè)負(fù)數(shù),，不等號(hào)的方向改變。（÷或×1個(gè)負(fù)數(shù)的時(shí)候要變號(hào)）

解集

確定解集：

①比兩個(gè)值都大,，就比大的還大（同大取大）,；

②比兩個(gè)值都小，就比小的還?。ㄍ∪⌒,。?/p>

③比大的大,，比小的小,，無(wú)解（大大小小取不了）；

④比小的大,，比大的小,，有解在中間（小大大小取中間）。

三個(gè)或三個(gè)以上不等式組成的不等式組,，可以類(lèi)推,。

數(shù)軸法

可以在數(shù)軸上確定解集：

把每個(gè)不等式的解集在數(shù)軸上表示出來(lái)，數(shù)軸上的點(diǎn)把數(shù)軸分成若干段,，如果數(shù)軸的某一段上面表示解集的線的條數(shù)與不等式的個(gè)數(shù)一樣,，那么這段就是不等式組的解集。有幾個(gè)就要幾個(gè),。

在確定一元二次不等式時(shí),，a>0，Δ=b^2-4ac>0時(shí),，不等式解集可用"大于取兩邊,，小于取中間"求出。

證明方法

比較法

①作差比較法：根據(jù)a-b>0?a>b,，欲證a>b,，只需證a-b>0,；

②作商比較法，簡(jiǎn)稱(chēng)商比法（作商與1比）,。

綜合法

由因?qū)Ч?。證明不等式時(shí)，從已知的不等式及題設(shè)條件出發(fā),，運(yùn)用不等式性質(zhì)及適當(dāng)變形推導(dǎo)出要證明的不等式綜合法又叫順推證法或因?qū)Чā?/p>

分析法

執(zhí)果索因,。證明不等式時(shí)，從待證命題出發(fā),，尋找使其成立的充分條件,。由于“分析法”證題書(shū)寫(xiě)不是太方便，所以有時(shí)我們可以利用分析法尋找證題的途徑,，然后用“綜合法”進(jìn)行表述,。

放縮法

將不等式一側(cè)適當(dāng)?shù)姆糯蠡蚩s小以達(dá)到證題目的，已知A

數(shù)學(xué)歸納法

證明與自然數(shù)n有關(guān)的不等式時(shí),，可用數(shù)學(xué)歸納法證之,。

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論,。

在證明第二步時(shí),，一般多用到比較法、放縮法和分析法,。

反證法

證明不等式時(shí),，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起,，利用已知定義,、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)單事實(shí)相矛盾的結(jié)論,，以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立,，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱(chēng)為反證法。

換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個(gè)數(shù),，以使問(wèn)題化難為易,，化繁為簡(jiǎn)，常用的換元有三角換元和代數(shù)換元,。

構(gòu)造法

通過(guò)構(gòu)造函數(shù),、圖形、方程,、數(shù)列,、向量等來(lái)證明不等式。

重要不等式

柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設(shè)xi∈R,yi>0(i=1,2,…,n)則,，當(dāng)且僅當(dāng)bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)時(shí)取等號(hào),。

2.設(shè)ai,，bi同號(hào)且不為零(i=1,2,…,n)，則,，當(dāng)且僅當(dāng)b1=b2=…=bn時(shí)取等,。

證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

①Cauchy不等式的形式化寫(xiě)法就是：記兩列數(shù)分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我們令 f(x) = ∑(ai x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 2 * (∑ai * bi) * x (∑ai^2)則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函數(shù)無(wú)實(shí)根或只有一個(gè)實(shí)根的條件,，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移項(xiàng)得到結(jié)論,。

②用向量來(lái)證。m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1 a2b2 ...... anbn=(a1^ a2^ ...... an^)^1/2乘以(b1^ b2^ ...... bn^)^1/2乘以cosX．因?yàn)閏osX小于等于1,，所以：a1b1 a2b2 ...... anbn小于等于a1^ a2^ ...... an^)^1/2乘以(b1^ b2^ ...... bn^)^1/2,，這就證明了不等式．柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法,。

柯西不等式的應(yīng)用

柯西不等式在求某些函數(shù)最值中和證明某些不等式時(shí)是經(jīng)常使用的理論根據(jù)，我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)給予極大的重視,。

例（巧拆常數(shù)）：設(shè)a,、b、c為正數(shù)且各不相等,。求證：2/(a b) 2/(b c) 2/(c a)>9/(a b c)

分析：∵a,、b、c均為正數(shù)∴為證結(jié)論正確只需證：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]>9而2(a b c)=(a b) (a c) (c b)又9=(1 1 1)(1 1 1)

證明：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]=[(a b) (a c) (b c)][1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]≥(1 1 1)(1 1 1)=9 又a,、b,、c各不相等，故等號(hào)不能成立∴原不等式成立,。

排序不等式

排序不等式又稱(chēng)排序原理,。

對(duì)于兩組有序的實(shí)數(shù)x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn,，設(shè)yi1,，yi2，…,，yin是后一組的任意一個(gè)排列,，記S=x1yn x2yn-1 … xny1，M=x1yi1 x2yi2 … xnyin,，L=x1y1 x2y2 … xnyn,，那么恒有S≤M≤L。

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時(shí),，等號(hào)成立,。

即反序和≤亂序和≤順序和。

其他不等式

還有諸如以下的不等式：

琴生不等式

均值不等式

絕對(duì)值不等式

權(quán)方和不等式

赫爾德不等式

閔可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒爾不等式

切比雪夫不等式

冪平均不等式

馬爾可夫不等式

切爾諾夫限

契比雪夫不等式

基本不等式

卡爾松不等式

幾何不等式

外森比克不等式

克拉克森不等式

yu不等式

施瓦爾茲不等式

三角不等式

erdos不等式

Milosevic不等式

等周不等式

芬斯拉不等式

嵌入不等式

楊氏不等式

車(chē)貝契夫不等式

典范類(lèi)不等式

佩多不等式

四邊形不等式

肖剛不等式

Arakelov不等式

卡拉瑪特不等式

外森比克不等式

宮岡-丘不等式

柯西—施瓦茨不等式

Gronwall不等式

例題

例1

判斷下列命題的真假,，并說(shuō)明理由,。

若a>b,，c=d，則ac>bd(假,，因?yàn)閏,，d符號(hào)不定)

若a c>c b，則a>b,；(真)

若a>b且ab

若-ab,；(真)

若|a|b2；(充要條件)

說(shuō)明：本題要求學(xué)生完成一種規(guī)范的證明或解題過(guò)程,，在完善解題規(guī)范的過(guò)程中完善自身邏輯思維的嚴(yán)密性,。

例2

a，b∈R且a>b,，比較a3-b3與ab2-a2b的大小,。(≥)

說(shuō)明：強(qiáng)調(diào)在最后一步中，說(shuō)明等號(hào)取到的情況,，為今后基本不等式求最值作思維準(zhǔn)備,。

例3

設(shè)a>b，n是偶數(shù)且n∈N*,，試比較an bn與an-1b abn-1的大小,。

說(shuō)明：本例條件是a>b，與正值不等式乘方性質(zhì)相比在于缺少了a,，b為正值這一條件,，為此我們必須對(duì)a，b的取值情況加以分類(lèi)討論,。因?yàn)閍>b,，可由三種情況(1)a>b≥0；(2)a≥0>b,；(3)0>a>b,。由此得到總有an bn>an-1b abn-1。通過(guò)本例可以開(kāi)始滲透分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,。