薛定諤方程（Schr?dinger equation），又稱薛定諤波動方程（Schrodinger wave equation）,，是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程,，也是量子力學的一個基本假定。

它是將物質(zhì)波的概念和波動方程相結(jié)合建立的二階偏微分方程,，可描述微觀粒子的運動,，每個微觀系統(tǒng)都有一個相應的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數(shù)的具體形式以及對應的能量,，從而了解微觀系統(tǒng)的性質(zhì),。在量子力學中，粒子以概率的方式出現(xiàn),，具有不確定性,，宏觀尺度下失效可忽略不計,。

簡介

薛定諤方程是量子力學的基本方程。是1926年奧地利理論物理學家薛定諤提出的,。它描述微觀粒子的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律,。微觀系統(tǒng)的狀態(tài)由波函數(shù)來描寫，薛定諤方程即是波函數(shù)的微分方程,。若給定了初始條件和邊界的條件,，就可由此方程解出波函數(shù)。

方程定義

薛定諤方程（Schrodinger equation）在量子力學中,，體系的狀態(tài)不能用力學量（例如x）的值來確定,，而是要用力學量的函數(shù)Ψ（x,t），即波函數(shù)（又稱概率幅,，態(tài)函數(shù)）來確定,，因此波函數(shù)成為量子力學研究的主要對象。力學量取值的概率分布如何,，這個分布隨時間如何變化,，這些問題都可以通過求解波函數(shù)的薛定諤方程得到解答。這個方程是奧地利物理學家薛定諤于1926年提出的,，它是量子力學最基本的方程之一,，在量子力學中的地位與牛頓方程在經(jīng)典力學中的地位相當，超弦理論試圖統(tǒng)一兩種理論,。

薛定諤方程是量子力學最基本的方程,，亦是量子力學的一個基本假定，其正確性只能靠實驗來確定,。

量子力學中求解粒子問題常歸結(jié)為解薛定諤方程或定態(tài)薛定諤方程,。薛定諤方程廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理,，對于原子,、分子、核,、固體等一系列問題中求解的結(jié)果都與實際符合得很好,。

薛定諤方程僅適用于速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關于粒子自旋的描述,。當涉及相對論效應時,，薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋,。

.薛定諤提出的量子力學基本方程,。建立于1926年。它是一個非相對論的波動方程,。它反映了描述微觀粒子的狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律,，它在量子力學中的地位相當于牛頓定律對于經(jīng)典力學一樣,，是量子力學的基本假設之一,。設描述微觀粒子狀態(tài)的波函數(shù)為Ψ（r,，t），質(zhì)量為m的微觀粒子在勢場V（r,，t）中運動的薛定諤方程,。在給定初始條件和邊界條件以及波函數(shù)所滿足的單值、有限,、連續(xù)的條件下,，可解出波函數(shù)Ψ（r，t）,。由此可計算粒子的分布概率和任何可能實驗的平均值（期望值）,。當勢函數(shù)V不依賴于時間t時，粒子具有確定的能量,，粒子的狀態(tài)稱為定態(tài),。定態(tài)時的波函數(shù)可寫成式中Ψ（r）稱為定態(tài)波函數(shù)，滿足定態(tài)薛定諤方程,，這一方程在數(shù)學上稱為本征方程,，式中E為本征值，它是定態(tài)能量,，Ψ（r）又稱為屬于本征值E的本征函數(shù),。

薛定諤方程是量子力學的基本方程，它揭示了微觀物理世界物質(zhì)運動的基本規(guī)律,，如牛頓定律在經(jīng)典力學中所起的作用一樣,，它是原子物理學中處理一切非相對論問題的有力工具，在原子,、分子,、固體物理、核物理,、化學等領域中被廣泛應用,。

背景與發(fā)展

1900年，馬克斯·普朗克在研究黑體輻射中作出將電磁輻射能量量子化的假設,，因此發(fā)現(xiàn)將能量與頻率關聯(lián)在一起的普朗克關系式,。1905年，阿爾伯特·愛因斯坦從對于光電效應的研究又給予這關系式嶄新的詮釋：頻率為ν的光子擁有的能量為hν,；其中,，因子h是普朗克常數(shù)。這一點子成為后來波粒二象性概念的早期路標之一,。由于在狹義相對論里,，能量與動量的關聯(lián)方式類似頻率與波數(shù)的關聯(lián)方式,，因此可以揣測，光子的動量與波長成反比,，與波數(shù)成正比,，以方程來表示這關系式。

路易·德布羅意認為,，不單光子遵守這關系式,，所有粒子都遵守這關系式。他于1924年進一步提出的德布羅意假說表明,，每一種微觀粒子都具有波動性與粒子性,，這性質(zhì)稱為波粒二象性。電子也不例外的具有這種性質(zhì),。電子是一種物質(zhì)波,，稱為“電子波”。電子的能量與動量分別決定了伴隨它的物質(zhì)波所具有的頻率與波數(shù),。在原子里,，束縛電子形成駐波；這意味著他的旋轉(zhuǎn)頻率只能呈某些離散數(shù)值,。這些量子化軌道對應于離散能級,。從這些點子，德布羅意復制出玻爾模型的能級,。

在1925年,，瑞士蘇黎世每兩周會舉辦一場物理學術研討會。有一次,，主辦者彼得·德拜邀請薛定諤講述關于德布羅意的波粒二象性博士論文,。那段時期，薛定諤正在研究氣體理論,，他從閱讀愛因斯坦關于玻色-愛因斯坦統(tǒng)計的論述中,，接觸德布羅意的博士論文，在這方面有很精深的理解,。在研討會里,，他將波粒二象性闡述的淋漓盡致，大家都聽的津津有味,。德拜指出,，既然粒子具有波動性，應該有一種能夠正確描述這種量子性質(zhì)的波動方程,。他的意見給予薛定諤極大的啟發(fā)與鼓舞,，他開始尋找這波動方程。檢試此方程最簡單與基本的方法就是,，用此方程來描述氫原子內(nèi)部束縛電子的物理行為,，而必能復制出玻爾模型的理論結(jié)果,，另外，這方程還必須能解釋索末菲模型給出的精細結(jié)構(gòu),。

很快,，薛定諤就通過德布羅意論文的相對論性理論，推導出一個相對論性波動方程,，他將這方程應用于氫原子,，計算出束縛電子的波函數(shù),。因為薛定諤沒有將電子的自旋納入考量,，所以從這方程推導出的精細結(jié)構(gòu)公式不符合索末菲模型。他只好將這方程加以修改,，除去相對論性部分,，并用剩下的非相對論性方程來計算氫原子的譜線。解析這微分方程的工作相當困難,，在其好朋友數(shù)學家赫爾曼·外爾鼎力相助下,，他復制出了與玻爾模型完全相同的答案。因此,，他決定暫且不發(fā)表相對論性部分,，只把非相對論性波動方程與氫原子光譜分析結(jié)果，寫為一篇論文,。1926年,，他正式發(fā)表了這論文。

這篇論文迅速在量子學術界引起震撼,。普朗克表示“他已閱讀完畢整篇論文,，就像被一個迷語困惑多時，渴慕知道答案的孩童,，現(xiàn)在終于聽到了解答”,。愛因斯坦稱贊，這著作的靈感如同泉水般源自一位真正的天才,。愛因斯坦覺得,，薛定諤已做出決定性貢獻。由于薛定諤所創(chuàng)建的波動力學涉及到眾所熟悉的波動概念與數(shù)學,，而不是矩陣力學中既抽象又陌生的矩陣代數(shù),，量子學者都很樂意地開始學習與應用波動力學。自旋的發(fā)現(xiàn)者喬治·烏倫貝克驚嘆,，“薛定諤方程給我們帶來極大的解救,！”沃爾夫?qū)づ堇J為，這論文應可算是最重要的著作之一,。

薛定諤給出的薛定諤方程能夠正確地描述波函數(shù)的量子行為,。在那時,，物理學者尚不清楚如何詮釋波函數(shù)，薛定諤試圖以電荷密度來詮釋波函數(shù)的絕對值平方,，可并不成功,。1926年，玻恩提出概率幅的概念,，成功地詮釋了波函數(shù)的物理意義,。但是薛定諤與愛因斯坦觀點相同，都不贊同這種統(tǒng)計或概率方法,，以及它所伴隨的非連續(xù)性波函數(shù)坍縮,。愛因斯坦主張，量子力學是個決定性理論的統(tǒng)計近似,。在薛定諤有生的最后一年,，寫給玻恩的一封信中，他清楚地表示他不接受哥本哈根詮釋,。

作者簡介

埃爾溫·薛定諤（Erwin Schrodinger,，1887年—1961年）1887年8月12日出生于奧地利首都維也納。1906年至1910年,，他就學于維也納大學物理系,。1910年獲得博士學位。畢業(yè)后,，在維也納大學第二物理研究所從事實驗物理的工作,。第一次世界大戰(zhàn)期間，他應征服役于一個偏僻的炮兵要塞,，利用閑暇時間研究理論物理,。

戰(zhàn)后他仍回到第二物理研究所。1920年他到耶拿大學協(xié)助維恩工作,。1921年薛定諤受聘到瑞士的蘇黎世大學任數(shù)學物理教授,，在那里工作了6年，薛定諤方程就是在這一期間提出的,。1927年薛定諤接替普朗克到柏林大學擔任理論物理教授,。1933年希特勒上臺后，薛定諤對于納粹政權(quán)迫害愛因斯坦等杰出科學家的法西斯行為深為憤慨,，移居牛津,，在馬達倫學院任訪問教授。同年他與狄拉克共同獲得諾貝爾物理學獎,。

1936年他回到奧地利任格拉茨大學理論物理教授,。不到兩年，奧地利被納粹并吞后，他又陷入了逆境,。1939年10月流亡到愛爾蘭首府都柏林,，就任都柏林高級研究所所長，從事理論物理研究,。在此期間還進行了科學哲學,、生物物理研究，頗有建樹,。出版了《生命是什么》一書,，試圖用量子物理闡明遺傳結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。1956年薛定諤回到了奧地利,，被聘為維也納大學理論物理教授,，奧地利政府給予他極大的榮譽，設定了以薛定諤命名的國家獎金,，由奧地利科學院授予,。

具體介紹

數(shù)學形式

一維薛定諤方程

三維薛定諤方程

定態(tài)薛定諤方程

單粒子薛定諤方程的數(shù)學表達形式

這是一個二階線性偏微分方程,，ψ(x,，y，z)是待求函數(shù),，它是x,y,z三個變量的復數(shù)函數(shù)（就是說函數(shù)值不一定是實數(shù),，也可能是虛數(shù)）。式子最左邊的倒三角是拉普拉斯算符,，意思是分別對ψ(x,，y，z)的梯度求散度,。

物理含義

這是一個描述一個粒子在三維勢場中的定態(tài)薛定諤方程,。所謂勢場，就是粒子在其中會有勢能的場,，比如電場就是一個帶電粒子的勢場,；所謂定態(tài)，就是假設波函數(shù)不隨時間變化,。其中,，E是粒子本身的能量；U（x,，y,，z）是描述勢場的函數(shù)，假設不隨時間變化,。薛定諤方程有一個很好的性質(zhì),，就是時間和空間部分是相互分立的，求出定態(tài)波函數(shù)的空間部分后再乘上時間部分以后就成了完整的波函數(shù)了。

薛定諤方程的解——波函數(shù)的性質(zhì)

簡單系統(tǒng),，如氫原子中電子的薛定諤方程才能求解,，對于復雜系統(tǒng)必須近似求解。因為對于有Z個電子的原子,，其電子由于屏蔽效應相互作用勢能會發(fā)生改變,，所以只能近似求解。近似求解的方法主要有變分法和微擾法,。

在束縛態(tài)邊界條件下并不是E值對應的所有解在物理上都是可以接受的,。主量子數(shù)、角量子數(shù),、磁量子數(shù)都是薛定諤方程的解,。要完整描述電子狀態(tài)，必須要四個量子數(shù),。自旋磁量子數(shù)不是薛定諤方程的解,，而是作為實驗事實接受下來的。

主量子數(shù)n和能量有關的量子數(shù),。原子具有分立能級,，能量只能取一系列值，每一個波函數(shù)都對應相應的能量,。氫原子以及類氫原子的分立值為：

,，n越大能量越高電子層離核越遠。主量子數(shù)決定了電子出現(xiàn)的最大幾率的區(qū)域離核遠近,，決定了電子的能量,。N=1,，2,，3，……,；常用K,、L,、M、N……表示,。

角量子數(shù)l和能量有關的量子數(shù),。電子在原子中具有確定的角動量L，它的取值不是任意的,，只能取一系列分立值,，稱為角動量量子化。,。l越大,，角動量越大，能量越高，電子云的形狀也不同,。l=0,，1，2,，……常用s,，p，d,，f,，g表示，簡單的說就是前面說的電子亞層,。角量子數(shù)決定了軌道形狀,，所以也稱為軌道形狀量子數(shù)。s為球型,，p為啞鈴型,，d為花瓣，f軌道更為復雜,。

磁量子數(shù)m是和電子能量無關的量子數(shù),。原子中電子繞核運動的軌道角動量，在外磁場方向上的分量是量子化的,，并由量子數(shù)m決定,，m稱為磁量子數(shù)。對于任意選定的外磁場方向Z,，角動量L在此方向上的分量Lz只能取一系列分立值，這種現(xiàn)象稱為空間量子化,。,。磁量子數(shù)決定了原子軌道空間伸展方向，即原子軌道在空間的取向,，s軌道一個方向（球）,，p軌道3個方向，d軌道5個,，f軌道7個……,。l相同，m不同即形狀相同空間取向不同的原子軌道能量是相同的,。不同原子軌道具有相同能量的現(xiàn)象稱為能量簡并,。

能量相同的原子軌道稱為簡并軌道，其數(shù)目稱為簡并度,。如p軌道有3個簡并軌道,，簡并度為3。簡并軌道在外磁場作用下會產(chǎn)生能量差異，這就是線狀譜在磁場下分裂的原因,。

粒子的自旋也產(chǎn)生角動量,，其大小取決于自旋磁量子數(shù)（ms）。電子自旋角動量是量子化的其值為,，s為自旋量子數(shù),，自旋角動量的一個分量Lsz應取下列分立值：。

原子光譜,，在高分辨光譜儀下,，每一條光線都是由兩條非常接近的光譜線組成，為解釋這一現(xiàn)象提出了粒子的自旋,。電子的自旋表示電子的兩種不同狀態(tài),，這兩種狀態(tài)有不同的自旋角動量。

電子的自旋不是機械的自身旋轉(zhuǎn),，它是本身的內(nèi)稟屬性,，也是新的自由度，如質(zhì)量和電荷一樣是它的內(nèi)在屬性,，電子的自旋角動量：?/2,。

對應關系

希爾伯特空間與薛定諤方程

一般，物理上將物理狀態(tài)與希爾伯特空間上的向量（vector）,，物理量與希爾伯特空間上的算符相對應,。這種形式下的薛定諤方程為

H為哈密頓算符。這個方程在這個形式下充分顯示出了時間與空間的對應性（時間與能量相對應,，正如空間與動量相對應,，后述）。這種算符（物理量）不隨時間變化而狀態(tài)隨時間變化的對自然現(xiàn)象的描述方法被稱為薛定諤繪景,，與之對應的是海森伯繪景,。

空間坐標算符x與其對應的動量算符p滿足以下交換關系：

所謂的薛定諤表示就是將空間算符直接作為x，而動量算符為下面的包含微分的微分算符：