1 1=2（one plus one equals two）,，是初等數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的數(shù)值計算等式。

數(shù)的出現(xiàn)

早在蒙昧?xí)r代,，人們就在對獵物的儲藏與分配等活動中,，逐漸產(chǎn)生了數(shù)的感覺。當(dāng)一個原始人面對放在一起的3只羊,、3個蘋果或3支箭時，他會朦朧地意識到其中有一種共性?？梢韵胂?，他此時會是多么地驚訝。但是,，從這種原始的感覺到抽象的“數(shù)”的概念的形成,，卻經(jīng)過了極其漫長的時間。

一般認為,，自然數(shù)的概念的形成可能與火的使用一樣古老,，至少有著30萬年的歷史。我們無法考證,，人類究竟在什么時候發(fā)明了加法,，因為那時沒有足夠詳細的文獻記錄（也許文字也剛剛誕生）。但加法的出現(xiàn)無疑是為了在交換商品或戰(zhàn)俘時進行運算,。至于乘法和除法,，則必定是在加減法的基礎(chǔ)上搞出來的。而分數(shù)應(yīng)該是出于分割物體的需要,。

應(yīng)該說,，當(dāng)某個原始人第一個意識到1 1=2，進而認識到兩個數(shù)相加得到另一個確定的數(shù)時,，這一刻是人類文明的偉大時刻,，因為他發(fā)現(xiàn)了一個非常重要的性質(zhì)——可加性。這個性質(zhì)及其推廣正是數(shù)學(xué)的全部根基,，它甚至說出數(shù)學(xué)為什么用途廣泛的同時,，告訴我們數(shù)學(xué)的局限性。

人們知道,，世界上存在三類不同的事物,。一類是完全滿足可加性的量。比如質(zhì)量,，容器里的氣體總質(zhì)量總是等于每個氣體分子質(zhì)量之和,。對于這些量，1 1=2是完全成立的,。

第二類是僅僅部分滿足可加性的的量,。比如溫度,，如果把兩個容器的氣體合并在一起,，則合并后氣體的溫度就是原來氣體各自溫度的加權(quán)平均（這是一種廣義的“相加”）,。但這里就有一個問題：溫度這個量不是完全滿足可加性的,，因為單個分子沒有溫度,。

世界上還有一些事物,，他們是徹底拒絕可加性的,，比如生命世界里的神經(jīng)元,。我們可以將容器里的分子分到兩個容器，使得每個容器里的氣體仍然保持有宏觀量——溫度,、壓強等,。但是，我們對神經(jīng)元不能這樣做,。我們每個人都會產(chǎn)生幸福,、痛苦之類的感覺。生物學(xué)告訴我們,，這些感覺是由神經(jīng)元產(chǎn)生的,。但是，我們卻不能說,，某個神經(jīng)元會產(chǎn)生多少幸?；蛲纯唷２粌H每個神經(jīng)元并不具備這種性質(zhì),，而且我們也不能將大腦劈成兩半,，使得每個半球都有幸福或者痛苦感,。神經(jīng)元不是分子——分子可以隨時分開或者重組,，神經(jīng)元具有協(xié)調(diào)性，一旦將他們分開,，生命就會終結(jié),，不可能再組合。

哥德巴赫猜想

數(shù)學(xué)上,，還有另一個非常有名的“（1 1）”,，它就是著名的哥德巴赫猜想。盡管聽起來很神秘,，但它的題面并不費解,，只要具備小學(xué)三年級的數(shù)學(xué)水平就就能理解其含義。原來,，這是18世紀時,，德國數(shù)學(xué)家哥德巴赫偶然發(fā)現(xiàn)，每個不小于6的偶數(shù)都是兩個奇素數(shù)之和,。例如3 3=6,；11 13=24。他試圖證明自己的發(fā)現(xiàn),，卻屢戰(zhàn)屢敗,。1742年，無可奈何的哥德巴赫只好求助當(dāng)時世界上最有權(quán)威的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉,，提出了自己的猜想,。歐拉很快回信說,，這個猜想肯定成立，但他無法證明,。

有人立即對一個個大于6的偶數(shù)進行了驗算,，一直算到了330000000,，結(jié)果都表明哥德巴赫猜想是對的,，但就是不能證明。于是這道每個不小于6的偶數(shù)都是兩素數(shù)之和[簡稱（1 1）]的猜想,，就被稱為“哥德巴赫猜想”,，成為數(shù)學(xué)皇冠上一顆可望不可即的“明珠”。

1956年底,，已先后寫了四十多篇論文的數(shù)學(xué)家陳景潤調(diào)到科學(xué)院,，開始在華羅庚教授指導(dǎo)下專心研究數(shù)論。1966年5月,，他像一顆璀璨的明星升上了數(shù)學(xué)的天空,，宣布他已經(jīng)證明了（1 2），即“充分大的偶數(shù)都能表示為一個素數(shù)及一個不超過二個素數(shù)的積之和”,。

1973年,，關(guān)于（1 2）的簡化證明發(fā)表了，他的論文轟動了全世界數(shù)學(xué)界,。他的成果被國際公認為“陳景潤定理”,，也叫“陳氏定理”。

陳景潤(1933.5-1996.3)是中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)家,。1933年5月22日生于福建省福州市,。1953年畢業(yè)于廈門大學(xué)數(shù)學(xué)系。由于他對塔里問題的一個結(jié)果作了改進,，受到華羅庚的重視,，被調(diào)到中國科學(xué)院數(shù)學(xué)研究所工作，先任實習(xí)研究員,、助理研究員,，再越級提升為研究員，并當(dāng)選為中國科學(xué)院數(shù)學(xué)物理學(xué)部委員,。

1996年3月19日13時10分,，因肺炎并發(fā)癥逝世，享年62歲,。

皮亞諾公理

皮亞諾公理,，也稱皮亞諾公設(shè)，是數(shù)學(xué)家皮亞諾(皮阿羅)提出的關(guān)于自然數(shù)的五條公理系統(tǒng),。根據(jù)這五條公理可以建立起一階算術(shù)系統(tǒng),，也稱皮亞諾算術(shù)系統(tǒng),。

皮亞諾的這五條公理用非形式化的方法敘述如下：

①0是自然數(shù)；

②每一個確定的自然數(shù)a,，都有一個確定的后繼數(shù)x',，x'也是自然數(shù)（一個數(shù)的后繼數(shù)就是緊接在這個數(shù)后面的數(shù)，例如,，1的后繼數(shù)是2,，2的后繼數(shù)是3等等）；

③如果b,、c都是自然數(shù)a的后繼數(shù),，那么b=c；

④0不是任何自然數(shù)的后繼數(shù),；

⑤設(shè)S是自然數(shù)集的一個子集,，且（1）0屬于S；（2）如果n屬于S,，那么n'也屬于S,。

(這條公理也叫歸納公理，保證了數(shù)學(xué)歸納法的正確性)

更正式的定義如下：一個戴德金-皮亞諾結(jié)構(gòu)是這樣的一個三元組(X,x,f),，其中X是一個集合,，x為X中一個元素，f是X到自身的映射,，且符合以下條件：

x不在f的值域內(nèi),；

f為一個單射；

若x∈A且"a∈A蘊涵f(a)∈A",，則A=X,。

該結(jié)構(gòu)所引出的關(guān)于自然數(shù)集合的基本假設(shè):

1.N(自然數(shù)集)不是空集；

2.N到N內(nèi)存在a→a'的一一映射,；

3.后繼元素映射的像的集合是N的真子集,，事實上即N{1}(或N{0})；

4.若N的子集P既含有非后繼元素的元素,，又有含有子集中每個元素的后繼元素,，則此子集與N相等。

1 1的證明：

∵1 1的后繼數(shù)是1的后繼數(shù)的后繼數(shù),，即3,，

∴2的后繼數(shù)是3。

根據(jù)皮亞諾公理③,，可得：1 1=2,。

偉大公式

2004年10月，一條科學(xué)新聞在國內(nèi)的媒體上不脛而走。

原來,，英國著名的科學(xué)雜志《物理世界》此前舉行了一場別開生面的評選活動,，邀請世界各地的讀者選出自己心目中最偉大、最喜愛的公式,、定理或定律,。結(jié)果，讓很多人意外的是,，1 1=2這個連小學(xué)生都知道的基本數(shù)學(xué)公式不僅入選,，而且還高居第一。一個加拿大讀者說出了他的理由：“這個最簡單的公式有著一種妙不可言的美感,?！贝舜卧u選活動的主持者則這樣評價到：“一個偉大公式的力量不僅論述了宇宙的基本特性并傳達了標志性的信息，而且還在盡力孕育出更多自然界,。

無獨有偶，1971年,，尼加拉瓜發(fā)行了一套紀念郵票《改變世界面貌的十個數(shù)學(xué)公式》,，排在第一。

然而正是這個“1 1=2”,。

從無窮小量和運算符號括號"（）"來證明1 1=2.證明如下：

假設(shè)0（這里的0為無窮小量）0=1,，

那么(0 0)(0 0)=1 1,

符合加法運算定律(合并同類項和結(jié)合律)，

則有1 1=2,。

三段式證明如此,。