勾股定理，是一個(gè)基本的幾何定理,，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方,。中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，并且直角邊中較小者為勾,，另一長(zhǎng)直角邊為股,，斜邊為弦，所以稱這個(gè)定理為勾股定理,，也有人稱商高定理,。

勾股定理現(xiàn)約有500種證明方法，是數(shù)學(xué)定理中證明方法最多的定理之一,。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一,，用代數(shù)思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數(shù)形結(jié)合的紐帶之一,。

在中國(guó),，周朝時(shí)期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例,。在西方，最早提出并證明此定理的為公元前6世紀(jì)古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派,，他們用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等于兩直角邊平方之和,。

定義

在平面上的一個(gè)直角三角形中，兩個(gè)直角邊邊長(zhǎng)的平方加起來等于斜邊長(zhǎng)的平方,。如果設(shè)直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)度分別是和,，斜邊長(zhǎng)度是，那么可以用數(shù)學(xué)語言表達(dá)：

勾股定理是余弦定理中的一個(gè)特例,。

推導(dǎo)

趙爽弦圖

《周髀算經(jīng)》中,，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，并之為玄實(shí),。開方除之,，即玄。案玄圖有可以勾股相乘為朱實(shí)二,，倍之為朱實(shí)四,。以勾股之差自相乘為中黃實(shí)。加差實(shí)亦成玄實(shí),。以差實(shí)減玄實(shí),，半其余。以差為從法,，開方除之,，復(fù)得勾矣。加差于勾即股,。凡并勾股之實(shí),，即成玄實(shí)?；蚓赜趦?nèi),，或方于外。形詭而量均,，體殊而數(shù)齊,。勾實(shí)之矩以股玄差為廣，股玄并為袤,。而股實(shí)方其里,。減矩勾之實(shí)于玄實(shí)，開其余即股,。倍股在兩邊為從法,，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實(shí)得股玄并,。以并除勾實(shí)亦得股玄差,。令并自乘與勾實(shí)為實(shí),。倍并為法,。所得亦玄,。勾實(shí)減并自乘，如法為股,。股實(shí)之矩以勾玄差為廣,，勾玄并為袤。而勾實(shí)方其里,，減矩股之實(shí)于玄實(shí),，開其余即勾。倍勾在兩邊為從法,，開矩股之角,，即勾玄差。加勾為玄,。以差除股實(shí)得勾玄并,。以并除股實(shí)亦得勾玄差。令并自乘與股實(shí)為實(shí),。倍并為法。所得亦玄,。股實(shí)減并自乘如法為勾,，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾,。以勾玄差增之為股,。兩差增之為弦。倍玄實(shí)列勾股差實(shí),，見并實(shí)者,，以圖考之，倍玄實(shí)滿外大方而多黃實(shí),。黃實(shí)之多,，即勾股差實(shí)。以差實(shí)減之，開其余,，得外大方,。大方之面，即勾股并也,。令并自乘,，倍玄實(shí)乃減之，開其余,，得中黃方,。黃方之面，即勾股差,。以差減并而半之為勾,。加差于并而半之為股。其倍玄為廣袤合,。令勾股見者自乘為其實(shí),。四實(shí)以減之，開其余,，所得為差,。以差減合半其余為廣。減廣于玄即所求也,?！?/p>

用現(xiàn)代的數(shù)學(xué)語言描述就是黃實(shí)的面積等于大正方形的面積減去四個(gè)朱實(shí)的面積。

2002年第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)（ICM）的會(huì)標(biāo)即為該圖,。

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結(jié)論5年后,，成為美國(guó)第20任總統(tǒng)，所以人們又稱其為“總統(tǒng)證法”,。

在直角梯形ABDE中,，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB,，,，，

∵

加菲爾德證法變式

該證明為加菲爾德證法的變式,。

如果將大正方形邊長(zhǎng)為c的小正方形沿對(duì)角線切開,，則回到了加菲爾德證法。相反,，若將上圖中兩個(gè)梯形拼在一起,，就變?yōu)榱舜俗C明方法。

大正方形的面積等于中間正方形的面積加上四個(gè)三角形的面積,，即：

青朱出入圖

青朱出入圖,，是東漢末年數(shù)學(xué)家劉徽根據(jù)“割補(bǔ)術(shù)”運(yùn)用數(shù)形關(guān)系證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂,。

劉徽描述此圖,，“勾自乘為朱方，股自乘為青方,，令出入相補(bǔ),，各從其類，因就其余不動(dòng)也,，合成弦方之冪,。開方除之，即弦也,?！逼浯笠鉃椋粋€(gè)任意直角三角形,，以勾寬作紅色正方形即朱方,，以股長(zhǎng)作青色正方形即青方。將朱方,、青方兩個(gè)正方形對(duì)齊底邊排列,，再以盈補(bǔ)虛,，分割線內(nèi)不動(dòng),，線外則“各從其類”,，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即為弦長(zhǎng),。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明,。設(shè)△ABC為一直角三角形,，其中A為直角,。從A點(diǎn)畫一直線至對(duì)邊,，使其垂直于對(duì)邊,。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二,，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等,。

在這個(gè)定理的證明中,，我們需要如下四個(gè)輔助定理：

如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等,。（SAS）

三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半,。

任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積,。

任意一個(gè)矩形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。

證明的思路為：從A點(diǎn)畫一直線至對(duì)邊,，使其垂直于對(duì)邊,。延長(zhǎng)此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，把上方的兩個(gè)正方形,，通過等高同底的三角形，以其面積關(guān)系,，轉(zhuǎn)換成下方兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方形。

設(shè)△ABC為一直角三角形，其直角為∠CAB。

其邊為BC、AB和CA,，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH,。

畫出過點(diǎn)A之BD,、CE的平行線，分別垂直BC和DE于K,、L,。

分別連接CF、AD,，形成△BCF,、△BDA,。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C,、A和G共線,，同理可證B、A和H共線,。

∠CBD和∠FBA都是直角,，所以∠ABD=∠FBC。

因?yàn)锳B=FB,，BD=BC,，所以△ABD≌△FBC。

因?yàn)锳與K和L在同一直線上,，所以四邊形BDLK=2△ABD,。

因?yàn)镃、A和G在同一直線上,，所以正方形BAGF=2△FBC,。

因此四邊形BDLK=BAGF=AB2。

同理可證,，四邊形CKLE=ACIH=AC2,。

把這兩個(gè)結(jié)果相加，AB2 AC2=BD×BK KL×KC

由于BD=KL,，BD×BK KL×KC=BD(BK KC)=BD×BC

由于CBDE是個(gè)正方形,，因此AB2 AC2=BC2，即a2 b2=c2,。

此證明是于歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節(jié)所提出的,。

由于這個(gè)定理的證明依賴于平行公理，而且從這個(gè)定理可以推出平行公理,，很多人質(zhì)疑平行公理是這個(gè)定理的必要條件,，一直到十九世紀(jì)嘗試否定第五公理的非歐幾何出現(xiàn)。

推廣

勾股數(shù)組

勾股數(shù)組是滿足勾股定理的正整數(shù)組,，其中的稱為勾股數(shù),。例如就是一組勾股數(shù)組。

任意一組勾股數(shù)可以表示為如下形式：,，,，，其中均為正整數(shù),，且,。

定理用途

已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長(zhǎng)度,，證明該三角形為直角三角形或用來證明該三角形內(nèi)兩邊垂直,。利用勾股定理求線段長(zhǎng)度這是勾股定理的最基本運(yùn)用,。

簡(jiǎn)史

中國(guó)

公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三,、股四,、弦五”。編寫于公元前一世紀(jì)以前的《周髀算經(jīng)》中記錄著商高與周公的一段對(duì)話,。商高說：“……故折矩，勾廣三,，股修四,，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時(shí),，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡(jiǎn)單地把這個(gè)事實(shí)說成“勾三股四弦五”,，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理,。

公元三世紀(jì)，三國(guó)時(shí)代的趙爽對(duì)《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋,，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘,，并而開方除之，即弦”,，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明,。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理,。

在中國(guó)清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對(duì)于勾股定理證法,。

外國(guó)

遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理,，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國(guó)哥倫比亞大學(xué)圖書館內(nèi)收藏著一塊編號(hào)為“普林頓322”的古巴比倫泥板,，上面就記載了很多勾股數(shù),。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測(cè)量尼羅河泛濫后的土地時(shí)，也應(yīng)用過勾股定理,。

公元前六世紀(jì),，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個(gè)定理為畢達(dá)哥拉斯定理,。

公元前4世紀(jì),，希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個(gè)證明,。

1876年4月1日,，加菲爾德在《新英格蘭教育日志》上發(fā)表了他對(duì)勾股定理的一個(gè)證法,。

1940年《畢達(dá)哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法,。

意義

1．勾股定理的證明是論證幾何的發(fā)端,。

2．勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，即它是第一個(gè)把幾何與代數(shù)聯(lián)系起來的定理,。

3．勾股定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),，引起第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，大大加深了人們對(duì)數(shù)的理解,。

4．勾股定理是歷史上第一個(gè)給出了完全解答的不定方程,，它引出了費(fèi)馬大定理。

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理,，并有巨大的實(shí)用價(jià)值,。這條定理不僅在幾何學(xué)中是一顆光彩奪目的明珠，被譽(yù)為“幾何學(xué)的基石”,，而且在高等數(shù)學(xué)和其他科學(xué)領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用,。1971年5月15日，尼加拉瓜發(fā)行了一套題為“改變世界面貌的十個(gè)數(shù)學(xué)公式”郵票,，這十個(gè)數(shù)學(xué)公式由著名數(shù)學(xué)家選出的,，勾股定理是其中之首。