傅里葉變換,，表示能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成三角函數(shù)（正弦和/或余弦函數(shù)）或者它們的積分的線性組合,。

在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形式,，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換,。最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具被提出的。

定義

設(shè)f∈,，則其傅里葉變換為上的函數(shù),，定義為

且稱為傅里葉級(jí)數(shù)。

性質(zhì)

收斂性

f到的傅里葉映射為,，且,，且f的傅里葉級(jí)數(shù)在L2范數(shù)下收斂于f。

對(duì)稱性質(zhì)

若 ,，則,。

奇偶性質(zhì)

若 ，且 ,，其中 表示 的實(shí)部,， 表示 的虛部，則 是關(guān)于 的偶函數(shù),，的模是關(guān)于的偶函數(shù),，輻角是關(guān)于的奇函數(shù)。

線性性質(zhì)

若,，,，則

其中α和β為常數(shù)。

時(shí)移性質(zhì)

若,，則,。

頻移性質(zhì)

若，則。

尺度變換性質(zhì)

若,，則,。

卷積定理

時(shí)域卷積定理：若，,，則,；

頻域卷積定理：若，,，則,。

時(shí)域微積分

微分性質(zhì)：若，則,，,；

積分性質(zhì)：若，則,。

頻域微積分

微分性質(zhì)：若,，則；

積分性質(zhì)：若,，則,。

應(yīng)用

盡管最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征,。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解,，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類,，這一想法跟化學(xué)上的原子論想法何其相似,！奇妙的是，現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)傅里葉變換具有非常好的性質(zhì),，使得它如此的好用和有用,，讓人不得不感嘆造物的神奇：

傅里葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),，它還是酉算子,；

傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似,；

正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì),，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲取,；

著名的卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；

離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)).

正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué),、數(shù)論,、組合數(shù)學(xué)、信號(hào)處理,、概率,、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué),、聲學(xué),、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用。

有關(guān)傅里葉變換的FPGA實(shí)現(xiàn)

傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理中的基本操作,，廣泛應(yīng)用于表述及分析離散時(shí)域信號(hào)領(lǐng)域,。但由于其運(yùn)算量與變換點(diǎn)數(shù)N的平方成正比關(guān)系，因此,，在N較大時(shí),，直接應(yīng)用DFT算法進(jìn)行譜變換是不切合實(shí)際的。然而,，快速傅里葉變換技術(shù)的出現(xiàn)使情況發(fā)生了根本性的變化,。本文主要描述了采用FPGA來(lái)實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k點(diǎn)FFT的設(shè)計(jì)方法。

整體結(jié)構(gòu)

一般情況下,，N點(diǎn)的傅里葉變換對(duì)為：

其中,，WN=exp（－2pi/N)。X(k）和x(n）都為復(fù)數(shù),。與之相對(duì)的快速傅里葉變換有很多種,，如DIT（時(shí)域抽取法）、DIF（頻域抽取法）,、Cooley－Tukey和Winograd等,。對(duì)于2n傅里葉變換，Cooley－Tukey算法可導(dǎo)出DIT和DIF算法,。本文運(yùn)用的基本思想是Cooley－Tukey算法,，即將高點(diǎn)數(shù)的傅里葉變換通過(guò)多重低點(diǎn)數(shù)傅里葉變換來(lái)實(shí)現(xiàn)。雖然DIT與DIF有差別,，但由于它們?cè)诒举|(zhì)上都是一種基于標(biāo)號(hào)分解的算法,，故在運(yùn)算量和算法復(fù)雜性等方面完全一樣，而沒(méi)有性能上的優(yōu)劣之分,，所以可以根據(jù)需要任取其中一種,，本文主要以DIT方法為對(duì)象來(lái)討論。

N=8192點(diǎn)DFT的運(yùn)算表達(dá)式為：

式中,，m=(4n1 n2)(2048k1 k2)(n=4n1 n2,，k=2048k1 k2）其中n1和k2可取0,1，．．．，2047,k1和n2可取0,1,2,3,。

由式（3）可知,，8k傅里葉變換可由4×2k的傅里葉變換構(gòu)成。同理,，4k傅里葉變換可由2×2k的傅里葉變換構(gòu)成,。而2k傅里葉變換可由128×16的傅里葉變換構(gòu)成。128的傅里葉變換可進(jìn)一步由16×8的傅里葉變換構(gòu)成,，歸根結(jié)底,，整個(gè)傅里葉變換可由基2、基4的傅里葉變換構(gòu)成,。2k的FFT可以通過(guò)5個(gè)基4和1個(gè)基2變換來(lái)實(shí)現(xiàn),；4k的FFT變換可通過(guò)6個(gè)基4變換來(lái)實(shí)現(xiàn)；8k的FFT可以通過(guò)6個(gè)基4和1個(gè)基2變換來(lái)實(shí)現(xiàn),。也就是說(shuō)：FFT的基本結(jié)構(gòu)可由基2/4模塊,、復(fù)數(shù)乘法器、存儲(chǔ)單元和存儲(chǔ)器控制模塊構(gòu)成,，其整體結(jié)構(gòu)如圖1所示,。

RAM用來(lái)存儲(chǔ)輸入數(shù)據(jù)、運(yùn)算過(guò)程中的中間結(jié)果以及運(yùn)算完成后的數(shù)據(jù),，ROM用來(lái)存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子表,。蝶形運(yùn)算單元即為基2/4模塊，控制模塊可用于產(chǎn)生控制時(shí)序及地址信號(hào),，以控制中間運(yùn)算過(guò)程及最后輸出結(jié)果,。

蝶形運(yùn)算器

基4和基2的信號(hào)流如圖2所示。圖中,，若A=r0 j*i0,，B=r1 j*i1，C=r2 j*i2,，D=r3 j*i3是要進(jìn)行變換的信號(hào),，Wk0=c0 j*s0=1，Wk1=c1 j*s1,，Wk2=c2 j*s2,，Wk3=c3 j*s3為旋轉(zhuǎn)因子，將其分別代入圖2中的基4蝶形運(yùn)算單元,，則有：

A′=[r0 (r1×c1－i1×s1) (r2×c2－i2×s2) (r3×c3－i3×s3)] j[i0 (i1×c1 r1×s1) (i2×c2 r2×s2) (i3×c3 r3×s3)]? （4）

B′=[r0 (i1×c1 r1×s1）－（r2×c2－i2×s2）－（i3×c3 r3×s3)] j[i0－（r1×c1－i1×s1）－（i2×c2 r2×s2) (r3×c3－i3×s3)] (5）

C′=[r0－（r1×c1－i1×s1) (r2×c2－i2×s2）－（r3×c3－i3×s3)] j[i0－（i1×c1 r1×s1) (i2×c2 r2×s2）－（i3×c3 r3×s3)] （6）

D′=[r0－（i1×c1 r1×s1）－（r2×c2－i2×s2) (i3×c3 r3×s3)] j[i0 (r1×c1－i1×s1）－（i2×c2 r2×s2）－（r3×c3－i3×s3)]? （7）

而在基2蝶形中,，Wk0和Wk2的值均為1，這樣,，將A,，B,，C和D的表達(dá)式代入圖2中的基2運(yùn)算的四個(gè)等式中，則有：

A′=r0 (r1×c1－i1×s1) j[i0 (i1×c1 r1×s1)]? （8）

B′=r0－ (r1×c1－i1×s1) j[i0－（i1×c1 r1×s1)] （9）

C′=r2 (r3×c3－i3×s3) j[i0 (i3×c3 r3×s3)]? （10）

D′=r2－（r3×c3－i3×s3) j[i0－（i3×c3 r3×s3)]? （11）

在上述式（4）～（11）中有很多類同項(xiàng),，如i1×c1 r1×s1和r1×c1－i1×s1等，它們僅僅是加減號(hào)的不同,，其結(jié)構(gòu)和運(yùn)算均類似,，這就為簡(jiǎn)化電路提供了可能。同時(shí),，在蝶形運(yùn)算中,，復(fù)數(shù)乘法可以由實(shí)數(shù)乘法以一定的格式來(lái)表示，這也為設(shè)計(jì)復(fù)數(shù)乘法器提供了一種實(shí)現(xiàn)的途徑,。

以基4為例,，在其運(yùn)算單元中，實(shí)際上只需做三個(gè)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算,，即只須計(jì)算BWk1,、CWk2和DWk3的值即可，這樣在一個(gè)基4蝶形單元里面,，最多只需要3個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可以了,。在實(shí)際過(guò)程中，在不提高時(shí)鐘頻率下,，只要將時(shí)序控制好?便可利用流水線（Pipeline）技術(shù)并只用一個(gè)復(fù)數(shù)乘法器就可完成這三個(gè)復(fù)數(shù)乘法,，大大節(jié)省了硬件資源。

FFT的地址

FFT變換后輸出的結(jié)果通常為一特定的倒序,。因此,，幾級(jí)變換后對(duì)地址的控制必須準(zhǔn)確無(wú)誤。

倒序的規(guī)律是和分解的方式密切相關(guān)的,，以基8為例,，其基本倒序規(guī)則如下：

基8可以用2×2×2三級(jí)基2變換來(lái)表示，則其輸入順序則可用二進(jìn)制序列（n1 n2 n3）來(lái)表示,，變換結(jié)束后,，其順序?qū)⒆優(yōu)椋╪3 n2 n1），如：X?011　→ x?110　,，即輸入順序?yàn)?,，輸出時(shí)順序變?yōu)?。

更進(jìn)一步,，對(duì)于基16的變換,，可由2×2×2×2，4×4,，4×2×2等形式來(lái)構(gòu)成,，相對(duì)于不同的分解形式,，往往會(huì)有不同的倒序方式。以4×4為例,，其輸入順序可以用二進(jìn)制序列（n1 n2 n3n4）來(lái)表示變換結(jié)束后,，其順序可變?yōu)椋ǎ╪3 n4）（n1 n2）），如：X?0111　→ x?1101　,。即輸入順序?yàn)?,，輸出時(shí)順序變?yōu)?3。

在2k/4k/8k的傅里葉變換中,，由于要經(jīng)過(guò)多次的基4和基2運(yùn)算,，因此，從每次運(yùn)算完成后到進(jìn)入下一次運(yùn)算前,，應(yīng)對(duì)運(yùn)算的結(jié)果進(jìn)行倒序,，以保證運(yùn)算的正確性。

旋轉(zhuǎn)因子

N點(diǎn)傅里葉變換的旋轉(zhuǎn)因子有著明顯的周期性和對(duì)稱性,。其周期性表現(xiàn)為：

FFT之所以可使運(yùn)算效率得到提高,，就是利用了對(duì)稱性和周期性把長(zhǎng)序列的DFT逐級(jí)分解成幾個(gè)序列的DFT，并最終以短點(diǎn)數(shù)變換來(lái)實(shí)現(xiàn)長(zhǎng)點(diǎn)數(shù)變換,。

根據(jù)旋轉(zhuǎn)因子的對(duì)稱性和周期性,，在利用ROM存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子時(shí)，可以只存儲(chǔ)旋轉(zhuǎn)因子表的一部分,，而在讀出時(shí)增加讀出地址及符號(hào)的控制,，這樣可以正確實(shí)現(xiàn)FFT。因此,，充分利用旋轉(zhuǎn)因子的性質(zhì),，可節(jié)省70%以上存儲(chǔ)單元。

實(shí)際上,，由于旋轉(zhuǎn)因子可分解為正,、余弦函數(shù)的組合，故ROM中存的值為正,、余弦函數(shù)值的組合,。對(duì)2k/4k/8k的傅里葉變換來(lái)說(shuō)，只是對(duì)一個(gè)周期進(jìn)行不同的分割,。由于8k變換的旋轉(zhuǎn)因子包括了2k/4k的所有因子,，因此，實(shí)現(xiàn)時(shí)只要對(duì)讀ROM的地址進(jìn)行控制,，即可實(shí)現(xiàn)2k/4k/8k變換的通用,。

存儲(chǔ)器控制

因FFT是為時(shí)序電路而設(shè)計(jì)的，因此,，控制信號(hào)要包括時(shí)序的控制信號(hào)及存儲(chǔ)器的讀寫地址,，并產(chǎn)生各種輔助的指示信號(hào),。同時(shí)在計(jì)算模塊的內(nèi)部，為保證高速,，所有的乘法器都須始終保持較高的利用率,。這意味著在每一個(gè)時(shí)鐘來(lái)臨時(shí)都要向這些單元輸入新的操作數(shù)，而這一切都需要控制信號(hào)的緊密配合,。

為了實(shí)現(xiàn)FFT的流形運(yùn)算,，在運(yùn)算的同時(shí)，存儲(chǔ)器也要接收數(shù)據(jù),。這可以采用乒乓RAM的方法來(lái)完成。這種方式?jīng)Q定了實(shí)現(xiàn)FFT運(yùn)算的最大時(shí)間,。對(duì)于4k操作,，其接收時(shí)間為4096個(gè)數(shù)據(jù)周期,這樣FFT的最大運(yùn)算時(shí)間就是4096個(gè)數(shù)據(jù)周期。另外,，由于輸入數(shù)據(jù)是以一定的時(shí)鐘為周期依次輸入的,，故在進(jìn)行內(nèi)部運(yùn)算時(shí)，可以用較高的內(nèi)部時(shí)鐘進(jìn)行運(yùn)算,，然后再存入RAM依次輸出,。

為節(jié)省資源，可對(duì)存儲(chǔ)數(shù)據(jù)RAM采用原址讀出原址寫入的方法,，即在進(jìn)行下一級(jí)變換的同時(shí),，首先應(yīng)將結(jié)果回寫到讀出數(shù)據(jù)的RAM存貯器中；而對(duì)于ROM,，則應(yīng)采用與運(yùn)算的數(shù)據(jù)相對(duì)應(yīng)的方法來(lái)讀出存儲(chǔ)器中旋轉(zhuǎn)因子的值,。

在2k/4k/8k傅里葉變換中，要實(shí)現(xiàn)通用性,，控制器是最主要的模塊,。2k、4k,、8k變換具有不同的內(nèi)部運(yùn)算時(shí)間和存儲(chǔ)器地址,，在設(shè)計(jì)中，針對(duì)不同的點(diǎn)數(shù)應(yīng)設(shè)計(jì)不同的存儲(chǔ)器存取地址,，同時(shí),，在完成變換后，還要對(duì)開始輸出有用信號(hào)的時(shí)刻進(jìn)行指示,。

簡(jiǎn)介

Fourier transform或Transformée de Fourier有多個(gè)中文譯名,，常見的有“傅里葉變換”、“付立葉變換”,、“傅立葉轉(zhuǎn)換”,、“傅氏轉(zhuǎn)換”,、“傅氏變換”、等等,。

傅里葉變換是一種分析信號(hào)的方法,，它可分析信號(hào)的成分，也可用這些成分合成信號(hào),。許多波形可作為信號(hào)的成分,，比如正弦波、方波,、鋸齒波等,，傅里葉變換用正弦波作為信號(hào)的成分。

f(t)是t的周期函數(shù),，如果t滿足狄利克雷條件：在一個(gè)以2T為周期內(nèi)f(X)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn),，附f（x）單調(diào)或可劃分成有限個(gè)單調(diào)區(qū)間，則F（x）以2T為周期的傅里葉級(jí)數(shù)收斂,，和函數(shù)S（x）也是以2T為周期的周期函數(shù),，且在這些間斷點(diǎn)上，函數(shù)是有限值,；在一個(gè)周期內(nèi)具有有限個(gè)極值點(diǎn),；絕對(duì)可積。則有下圖①式成立,。稱為積分運(yùn)算f(t)的傅里葉變換,，

②式的積分運(yùn)算叫做F(ω)的傅里葉逆變換。F(ω)叫做f(t)的象函數(shù),，f(t)叫做

F(ω)的象原函數(shù),。F(ω)是f(t)的象。f(t)是F(ω)原象,。

①傅里葉變換

②傅里葉逆變換

傅里葉變換在物理學(xué),、電子類學(xué)科、數(shù)論,、組合數(shù)學(xué),、信號(hào)處理、概率論,、統(tǒng)計(jì)學(xué),、密碼學(xué)、聲學(xué),、光學(xué),、海洋學(xué)、結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用（例如在信號(hào)處理中，傅里葉變換的典型用途是將信號(hào)分解成頻率譜——顯示與頻率對(duì)應(yīng)的幅值大?。?。

相關(guān)

* 傅里葉變換屬于諧波分析。

* 傅里葉變換的逆變換容易求出,，而且形式與正變換非常類似;

* 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),，從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解.在線性時(shí)不變的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個(gè)不變的性質(zhì),，從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲?。?/p>

*卷積定理指出：傅里葉變換可以化復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段,；

* 離散形式的傅里葉變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速地算出（其算法稱為快速傅里葉變換算法（FFT)). 

特殊變換

連續(xù)傅里葉變換

一般情況下，若“傅里葉變換”一詞的前面未加任何限定語(yǔ),，則指的是“連續(xù)傅里葉變換”,。“連續(xù)傅里葉變換”將平方可積的函數(shù) 表示成復(fù)指數(shù)函數(shù)的積分形式：

上式其實(shí)表示的是連續(xù)傅里葉變換的逆變換,，即將時(shí)間域的函數(shù)表示為頻率域的函數(shù) 的積分。反過(guò)來(lái),，其正變換恰好是將頻率域的函數(shù) 表示為時(shí)間域的函數(shù) 的積分形式,。一般可稱函數(shù) 為原函數(shù)，而稱函數(shù) 為傅里葉變換的像函數(shù),，原函數(shù)和像函數(shù)構(gòu)成一個(gè)傅里葉變換對(duì)（transform pair）,。

當(dāng) 為奇函數(shù)（或偶函數(shù)）時(shí)，其余弦（或正弦）分量為零,，而可以稱這時(shí)的變換為余弦變換（或正弦變換）,。

傅里葉級(jí)數(shù)

主條目：傅里葉級(jí)數(shù)

連續(xù)形式的傅里葉變換其實(shí)是傅里葉級(jí)數(shù)的推廣，因?yàn)榉e分其實(shí)是一種極限形式的求和算子而已,。對(duì)于周期函數(shù),，它的傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier series）表示被定義為：

其中 為函數(shù)的周期， 為傅里葉展開系數(shù),，它們等于

對(duì)于實(shí)值函數(shù),，函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)可以寫成：

其中 和 是實(shí)頻率分量的振幅。

離散時(shí)間傅里葉變換

主條目：離散時(shí)間傅里葉變換

離散時(shí)間傅里葉變換（discrete-time Fourier transform, DTFT）針對(duì)的是定義域?yàn)閆的數(shù)列,。設(shè) 為某一數(shù)列,，則其DTFT被定義為

相應(yīng)的逆變換為

DTFT在時(shí)域上離散，在頻域上則是周期的,，它一般用來(lái)對(duì)離散時(shí)間信號(hào)進(jìn)行頻譜分析,。DTFT可以被看作是傅里葉級(jí)數(shù)的逆。

離散傅里葉變換

為了在科學(xué)計(jì)算和數(shù)字信號(hào)處理等領(lǐng)域使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行傅里葉變換,，必須將函數(shù)定義在離散點(diǎn)上而非連續(xù)域內(nèi),，且須滿足有限性或周期性條件,。這種情況下，序列 的離散傅里葉變換（discrete Fourier transform, DFT）為

其逆變換為

直接使用DFT的定義計(jì)算的計(jì)算復(fù)雜度為 ,，而快速傅里葉變換（fast Fourier transform, FFT）可以將復(fù)雜度改進(jìn)為 ,。計(jì)算復(fù)雜度的降低以及數(shù)字電路計(jì)算能力的發(fā)展使得DFT成為在信號(hào)處理領(lǐng)域十分實(shí)用且重要的方法。

在阿貝爾群上的統(tǒng)一描述

以上各種傅里葉變換可以被更統(tǒng)一的表述成任意局部緊致的阿貝爾群上的傅里葉變換,。這一問(wèn)題屬于調(diào)和分析的范疇,。在調(diào)和分析中，一個(gè)變換從一個(gè)群變換到它的對(duì)偶群（dual group）,。此外,，將傅里葉變換與卷積相聯(lián)系的卷積定理在調(diào)和分析中也有類似的結(jié)論。

傅里葉變換家族

下表列出了傅里葉變換家族的成員,。容易發(fā)現(xiàn),，函數(shù)在時(shí)（頻）域的離散對(duì)應(yīng)于其像函數(shù)在頻（時(shí)）域的周期性，反之連續(xù)則意味著在對(duì)應(yīng)域的信號(hào)的非周期性,。

變換提出

傅里葉是一位法國(guó)數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字,，英語(yǔ)原名是Jean Baptiste Joseph Fourier(1768-1830), Fourier對(duì)熱傳遞很感興趣，于1807年在法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)上發(fā)表了一篇論文,，運(yùn)用正弦曲線來(lái)描述溫度分布,，論文里有個(gè)在當(dāng)時(shí)具有爭(zhēng)議性的決斷：任何連續(xù)周期信號(hào)可以由一組適當(dāng)?shù)恼仪€組合而成。當(dāng)時(shí)審查這個(gè)論文的人,，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(Joseph Louis Lagrange, 1736-1813)和拉普拉斯(Pierre Simon de Laplace, 1749-1827),，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過(guò)并要發(fā)表這個(gè)論文時(shí)，拉格朗日?qǐng)?jiān)決反對(duì),，在他此后生命的六年中,，拉格朗日?qǐng)?jiān)持認(rèn)為傅里葉的方法無(wú)法表示帶有棱角的信號(hào)，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率,。法國(guó)科學(xué)學(xué)會(huì)屈服于拉格朗日的威望,，拒絕了傅里葉的工作，幸運(yùn)的是,，傅里葉還有其它事情可忙,，他參加了政治運(yùn)動(dòng)，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及,，法國(guó)大革命后因會(huì)被推上斷頭臺(tái)而一直在逃避,。直到拉格朗日死后15年這個(gè)論文才被發(fā)表出來(lái)。

拉格朗日是對(duì)的：正弦曲線無(wú)法組合成一個(gè)帶有棱角的信號(hào),。但是,，我們可以用正弦曲線來(lái)非常逼近地表示它，逼近到兩種表示方法不存在能量差別，基于此,，傅里葉是對(duì)的,。

用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線而不用方波或三角波來(lái)表示的原因在于，分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的,，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào),。用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度。一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后,，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變化,，但是頻率和波的形狀仍是一樣的。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì),，正因如此我們才不用方波或三角波來(lái)表示。

為什么用三角函數(shù)展開

為什么偏偏選擇三角函數(shù)而不用其他函數(shù)進(jìn)行分解？我們從物理系統(tǒng)的特征信號(hào)角度來(lái)解釋,。我們知道：大自然中很多現(xiàn)象可以抽象成一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)來(lái)研究，無(wú)論你用微分方程還是傳遞函數(shù)或者狀態(tài)空間描述,。線性時(shí)不變系統(tǒng)可以這樣理解：輸入輸出信號(hào)滿足線性關(guān)系,，而且系統(tǒng)參數(shù)不隨時(shí)間變換,。對(duì)于大自然界的很多系統(tǒng)，一個(gè)正弦曲線信號(hào)輸入后，輸出的仍是正弦曲線,，只有幅度和相位可能發(fā)生變化，但是頻率和波的形狀仍是一樣的,。也就是說(shuō)正弦信號(hào)是系統(tǒng)的特征向量,！當(dāng)然,，指數(shù)信號(hào)也是系統(tǒng)的特征向量,，表示能量的衰減或積聚。自然界的衰減或者擴(kuò)散現(xiàn)象大多是指數(shù)形式的,，或者既有波動(dòng)又有指數(shù)衰減（復(fù)指數(shù) 形式），因此具有特征的基函數(shù)就由三角函數(shù)變成復(fù)指數(shù)函數(shù),。但是，如果輸入是方波,、三角波或者其他什么波形,，那輸出就不一定是什么樣子了,。所以,，除了指數(shù)信號(hào)和正弦信號(hào)以外的其他波形都不是線性系統(tǒng)的特征信號(hào),。

用正弦曲線來(lái)代替原來(lái)的曲線而不用方波或三角波或者其他什么函數(shù)來(lái)表示的原因在于：正弦信號(hào)恰好是很多線性時(shí)不變系統(tǒng)的特征向量,。于是就有了傅里葉變換。對(duì)于更一般的線性時(shí)不變系統(tǒng),，復(fù)指數(shù)信號(hào)(表示耗散或衰減)是系統(tǒng)的“特征向量”,。于是就有了拉普拉斯變換。z變換也是同樣的道理,，這時(shí)是離散系統(tǒng)的“特征向量”,。這里沒(méi)有區(qū)分特征函數(shù)和特征向量的概念，主要想表達(dá)二者的思想是相同的,，只不過(guò)一個(gè)是有限維向量,，一個(gè)是無(wú)限維函數(shù)。

傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換其實(shí)就是我們之前討論的特征值與特征向量的問(wèn)題。分解信號(hào)的方法是無(wú)窮的，但分解信號(hào)的目的是為了更加簡(jiǎn)單地處理原來(lái)的信號(hào),。這樣,，用正余弦來(lái)表示原信號(hào)會(huì)更加簡(jiǎn)單，因?yàn)檎嘞覔碛性盘?hào)所不具有的性質(zhì)：正弦曲線保真度,。且只有正弦曲線才擁有這樣的性質(zhì),。

這也解釋了為什么我們一碰到信號(hào)就想方設(shè)法的把它表示成正弦量或者復(fù)指數(shù)量的形式,；為什么方波或者三角波如此“簡(jiǎn)單”，我們非要展開的如此“麻煩”,；為什么對(duì)于一個(gè)沒(méi)有什么規(guī)律的“非周期”信號(hào)，我們都絞盡腦汁的用正弦量展開,。就因?yàn)檎伊?或復(fù)指數(shù))是特征向量,。

時(shí)域頻域

什么是時(shí)域,？從我們出生，我們看到的世界都以時(shí)間貫穿,，股票的走勢(shì)、人的身高,、汽車的軌跡都會(huì)隨著時(shí)間發(fā)生改變,。這種以時(shí)間作為參照來(lái)觀察動(dòng)態(tài)世界的方法我們稱其為時(shí)域分析,。而我們也想當(dāng)然的認(rèn)為,，世間萬(wàn)物都在隨著時(shí)間不停的改變，并且永遠(yuǎn)不會(huì)靜止下來(lái),。

什么是頻域,？頻域(frequency domain)是描述信號(hào)在頻率方面特性時(shí)用到的一種坐標(biāo)系。用線性代數(shù)的語(yǔ)言就是裝著正弦函數(shù)的空間,。頻域最重要的性質(zhì)是：它不是真實(shí)的,，而是一個(gè)數(shù)學(xué)構(gòu)造。頻域是一個(gè)遵循特定規(guī)則的數(shù)學(xué)范疇,。正弦波是頻域中唯一存在的波形,，這是頻域中最重要的規(guī)則，即正弦波是對(duì)頻域的描述,，因?yàn)闀r(shí)域中的任何波形都可用正弦波合成,。

對(duì)于一個(gè)信號(hào)來(lái)說(shuō),，信號(hào)強(qiáng)度隨時(shí)間的變化規(guī)律就是時(shí)域特性，信號(hào)是由哪些單一頻率的信號(hào)合成的就是頻域特性,。

時(shí)域分析與頻域分析是對(duì)信號(hào)的兩個(gè)觀察面,。時(shí)域分析是以時(shí)間軸為坐標(biāo)表示動(dòng)態(tài)信號(hào)的關(guān)系；頻域分析是把信號(hào)變?yōu)橐灶l率軸為坐標(biāo)表示出來(lái),。一般來(lái)說(shuō),，時(shí)域的表示較為形象與直觀，頻域分析則更為簡(jiǎn)練,，剖析問(wèn)題更為深刻和方便,。目前，信號(hào)分析的趨勢(shì)是從時(shí)域向頻域發(fā)展,。然而,，它們是互相聯(lián)系，缺一不可,，相輔相成的,。貫穿時(shí)域與頻域的方法之一，就是傳說(shuō)中的傅里葉分析,。傅里葉分析可分為傅里葉級(jí)數(shù)（Fourier Serie）和傅里葉變換(Fourier Transformation),。

變換分類

根據(jù)原信號(hào)的不同類型，我們可以把傅里葉變換分為四種類別：

1非周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉變換（Fourier Transform）

2周期性連續(xù)信號(hào)傅里葉級(jí)數(shù)(Fourier Series)

3非周期性離散信號(hào)離散時(shí)域傅里葉變換（Discrete Time Fourier Transform）

4周期性離散信號(hào)離散傅里葉變換(Discrete Fourier Transform)

下圖是四種原信號(hào)圖例：

這四種傅里葉變換都是針對(duì)正無(wú)窮大和負(fù)無(wú)窮大的信號(hào),，即信號(hào)的的長(zhǎng)度是無(wú)窮大的,，我們知道這對(duì)于計(jì)算機(jī)處理來(lái)說(shuō)是不可能的，那么有沒(méi)有針對(duì)長(zhǎng)度有限的傅里葉變換呢,？沒(méi)有,。因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無(wú)窮大到正無(wú)窮大，我們無(wú)法把一個(gè)長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)組合成長(zhǎng)度有限的信號(hào),。面對(duì)這種困難,，方法是把長(zhǎng)度有限的信號(hào)表示成長(zhǎng)度無(wú)限的信號(hào)，可以把信號(hào)無(wú)限地從左右進(jìn)行延伸,，延伸的部分用零來(lái)表示,，這樣,，這個(gè)信號(hào)就可以被看成是非周期性離散信號(hào)，我們就可以用到離散時(shí)域傅里葉變換的方法,。還有，也可以把信號(hào)用復(fù)制的方法進(jìn)行延伸，這樣信號(hào)就變成了周期性離散信號(hào),，這時(shí)我們就可以用離散傅里葉變換方法進(jìn)行變換,。這里我們要學(xué)的是離散信號(hào)，對(duì)于連續(xù)信號(hào)我們不作討論,，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號(hào)，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來(lái)處理信號(hào)的,。

但是對(duì)于非周期性的信號(hào),，我們需要用無(wú)窮多不同頻率的正弦曲線來(lái)表示，這對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)是不可能實(shí)現(xiàn)的,。所以對(duì)于離散信號(hào)的變換只有離散傅里葉變換（DFT）才能被適用,，對(duì)于計(jì)算機(jī)來(lái)說(shuō)只有離散的和有限長(zhǎng)度的數(shù)據(jù)才能被處理，對(duì)于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演算中才能用到,，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用DFT方法,，后面我們要理解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號(hào)目的是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來(lái)解決問(wèn)題,，至于考慮周期性信號(hào)是從哪里得到或怎樣得到是無(wú)意義的,。

每種傅里葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對(duì)于實(shí)數(shù)方法是最好理解的,，但是復(fù)數(shù)方法就相對(duì)復(fù)雜許多了,，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知識(shí)，不過(guò),，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅里葉變換(real DFT),，再去理解復(fù)數(shù)傅里葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅里葉放到一邊去,，先來(lái)理解實(shí)數(shù)傅里葉變換,，在后面我們會(huì)先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅里葉變換的基礎(chǔ)上再來(lái)理解復(fù)數(shù)傅里葉變換,。

還有,，這里我們所要說(shuō)的變換(transform)雖然是數(shù)學(xué)意義上的變換，但跟函數(shù)變換是不同的,，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的,，對(duì)于離散數(shù)字信號(hào)處理（DSP），有許多的變換：傅里葉變換,、拉普拉斯變換,、Z變換、希爾伯特變換,、離散余弦變換等,，這些都擴(kuò)展了函數(shù)變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡(jiǎn)單地說(shuō)變換就是把一堆的數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法,。

變換意義

傅里葉變換是數(shù)字信號(hào)處理領(lǐng)域一種很重要的算法,。要知道傅里葉變換算法的意義，首先要了解傅里葉原理的意義,。傅里葉原理表明：任何連續(xù)測(cè)量的時(shí)序或信號(hào),，都可以表示為不同頻率的正弦波信號(hào)的無(wú)限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅里葉變換算法利用直接測(cè)量到的原始信號(hào),，以累加方式來(lái)計(jì)算該信號(hào)中不同正弦波信號(hào)的頻率,、振幅和相位。

和傅里葉變換算法對(duì)應(yīng)的是反傅里葉變換算法,。該反變換從本質(zhì)上說(shuō)也是一種累加處理,，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號(hào)轉(zhuǎn)換成一個(gè)信號(hào)。因此,，可以說(shuō)，傅里葉變換將原來(lái)難以處理的時(shí)域信號(hào)轉(zhuǎn)換成了易于分析的頻域信號(hào)（信號(hào)的頻譜）,，可以利用一些工具對(duì)這些頻域信號(hào)進(jìn)行處理,、加工。最后還可以利用傅里葉反變換將這些頻域信號(hào)轉(zhuǎn)換成時(shí)域信號(hào),。

從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看,，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個(gè)函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組合或者積分,。在不同的研究領(lǐng)域,，傅里葉變換具有多種不同的變體形式，如連續(xù)傅里葉變換和離散傅里葉變換,。

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,，盡管最初傅里葉分析是作為熱過(guò)程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有典型的還原論和分析主義的特征,。"任意"的函數(shù)通過(guò)一定的分解,，都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被充分研究而相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)類：1. 傅里葉變換是線性算子,若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù),，它還是酉算子,；2. 傅里葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似,；3. 正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù),從而使得線性微分方程的求解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解,。在線性時(shí)復(fù)雜的卷積運(yùn)算為簡(jiǎn)單的乘積運(yùn)算,從而提供了計(jì)算卷積的一種簡(jiǎn)單手段；4. 離散形式的傅里葉的物理系統(tǒng)內(nèi),頻率是個(gè)不變的性質(zhì),從而系統(tǒng)對(duì)于復(fù)雜激勵(lì)的響應(yīng)可以通過(guò)組合其對(duì)不同頻率正弦信號(hào)的響應(yīng)來(lái)獲??；5. 著名的卷積定理指出:傅里葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì)算機(jī)快速的算出(其算法稱為快速傅里葉變換算法(FFT))。

正是由于上述的良好性質(zhì),傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論,、組合數(shù)學(xué),、信號(hào)處理、概率,、統(tǒng)計(jì),、密碼學(xué)、聲學(xué),、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用,。

圖像傅里葉變換

圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度,。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域,，對(duì)應(yīng)的頻率值很低,；而對(duì)于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域,，對(duì)應(yīng)的頻率值較高。傅里葉變換在實(shí)際中有非常明顯的物理意義,，設(shè)f是一個(gè)能量有限的模擬信號(hào),，則其傅里葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看,，傅里葉變換是將一個(gè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來(lái)處理的,。從物理效果看，傅里葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域,，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空間域,。換句話說(shuō)，傅里葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變換為圖像的頻率分布函數(shù),，傅里葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變換為灰度分布函數(shù),。

傅里葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對(duì)在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上的采樣得到一系列點(diǎn)的集合,，我們習(xí)慣用一個(gè)二維矩陣表示空間上各點(diǎn),，則圖像可由z=f(x,y)來(lái)表示。由于空間是三維的,，圖像是二維的,，因此空間中物體在另一個(gè)維度上的關(guān)系就由梯度來(lái)表示，這樣我們可以通過(guò)觀察圖像得知物體在三維空間中的對(duì)應(yīng)關(guān)系,。為什么要提梯度,？因?yàn)閷?shí)際上對(duì)圖像進(jìn)行二維傅里葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖,，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系,，即使在不移頻的情況下也是沒(méi)有。傅里葉頻譜圖上我們看到的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱,，即梯度的大小,，也即該點(diǎn)的頻率的大小（可以這么理解,，圖像中的低頻部分指低梯度的點(diǎn),，高頻部分相反）。一般來(lái)講,，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng),，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過(guò)觀察傅里葉變換后的頻譜圖,，也叫功率圖,，我們首先就可以看出，圖像的能量分布,，如果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多,，那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對(duì)較?。?，反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多,，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的,，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對(duì)頻譜移頻到原點(diǎn)以后,，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心,，對(duì)稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外,，還有一個(gè)好處,，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號(hào)，比如正弦干擾,，一副帶有正弦干擾,，移頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心，對(duì)稱分布的亮點(diǎn)集合,，這個(gè)集合就是干擾噪音產(chǎn)生的,，這時(shí)可以很直觀的通過(guò)在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。

另外說(shuō)明以下幾點(diǎn)：

1,、圖像經(jīng)過(guò)二維傅里葉變換后,，其變換系數(shù)矩陣表明：

若變換矩陣Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近（圖中陰影區(qū)）,。若所用的二維傅里葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角,，那么圖像信號(hào)能量將集中在系數(shù)矩陣的四個(gè)角上,。這是由二維傅里葉變換本身性質(zhì)決定的。同時(shí)也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域,。

2 ,、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮,，平移之后中間部分是低頻,，最亮，亮度大說(shuō)明低頻的能量大（幅角比較大）,。

傅里葉變換的推廣

將其發(fā)展延伸,，構(gòu)造出了其他形式的積分變換:

從數(shù)學(xué)的角度理解積分變換就是通過(guò)積分運(yùn)算，把一個(gè)函數(shù)變成另一個(gè)函數(shù),。也可以理解成是算內(nèi)積,，然后就變成一個(gè)函數(shù)向另一個(gè)函數(shù)的投影：

K（s，t）積分變換的核(Kernel),。當(dāng)選取不同的積分域和變換核時(shí),，就得到不同名稱的積分變換。學(xué)術(shù)一點(diǎn)的說(shuō)法是：向核空間投影,，將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化到核空間,。所謂核空間,，就是這個(gè)空間里面裝的是核函數(shù),。

當(dāng)然，選取什么樣的核主要看你面對(duì)的問(wèn)題有什么特征,。不同問(wèn)題的特征不同,，就會(huì)對(duì)應(yīng)特定的核函數(shù)。把核函數(shù)作為基函數(shù),。將現(xiàn)在的坐標(biāo)投影到核空間里面去,，問(wèn)題就會(huì)得到簡(jiǎn)化。之所以叫核,，是因?yàn)檫@是最核心的地方,。為什么其他變換你都沒(méi)怎么聽說(shuō)過(guò)而只熟悉傅里葉變換和拉普拉斯變換呢？因?yàn)閺?fù)指數(shù)信號(hào)才是描述這個(gè)世界的特征函數(shù),！

例子

一個(gè)關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅里葉變換(Real DFT)實(shí)例

先來(lái)看一個(gè)變換實(shí)例,，一個(gè)原始信號(hào)的長(zhǎng)度是16，于是可以把這個(gè)信號(hào)分解9個(gè)余弦波和9個(gè)正弦波（一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào)可以分解成N/2 1個(gè)正余弦信號(hào),，這是為什么呢,？結(jié)合下面的18個(gè)正余弦圖,我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個(gè)長(zhǎng)度為N的信號(hào),，最多只能有N/2 1個(gè)不同頻率,，再多的頻率就超過(guò)了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍）,，如下圖：

9個(gè)正弦信號(hào)：

9個(gè)余弦信號(hào)：

把以上所有信號(hào)相加即可得到原始信號(hào)，至于是怎么分別變換出9種不同頻率信號(hào)的,，我們先不急,，先看看對(duì)于以上的變換結(jié)果，在程序中又是該怎么表示的,，我們可以看看下面這個(gè)示例圖：

上圖中左邊表示時(shí)域中的信號(hào),，右邊是頻域信號(hào)表示方法，從左向右表示正向轉(zhuǎn)換(Forward DFT),，從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換(Inverse DFT),，用小寫x[]表示信號(hào)在每個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組, 用大寫X[]表示每種頻率的幅度值數(shù)組, 因?yàn)橛蠳/2 1種頻率，所以該數(shù)組長(zhǎng)度為N/2 1,，X[]數(shù)組又分兩種,，一種是表示余弦波的不同頻率幅度值：Re X[]，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：Im X[],，Re是實(shí)數(shù)(Real)的意思,，Im是虛數(shù)(Imagine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表示方法把正余弦波組合起來(lái)進(jìn)行表示,，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它作用,，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)（在后面我們會(huì)知道,，復(fù)數(shù)形式的傅里葉變換長(zhǎng)度是N,，而不是N/2 1）。

用Matlab進(jìn)行傅里葉變換

FFT是離散傅里葉變換的快速算法,，可以將一個(gè)信號(hào)變換到頻域,。有些信號(hào)在時(shí)域上是很難看出什么特征的，但是如果變換到頻域之后,，就很容易看出特征了,。這就是很多信號(hào)分析采用FFT變換的原因。另外,，F(xiàn)FT可以將一個(gè)信號(hào)的頻譜提取出來(lái),，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。

FFT結(jié)果的具體物理意義,。一個(gè)模擬信號(hào),，經(jīng)過(guò)ADC采樣之后，就變成了數(shù)字信號(hào),。采樣定理告訴我們,，采樣頻率要大于信號(hào)頻率的兩倍。

采樣得到的數(shù)字信號(hào),，就可以做FFT變換了,。N個(gè)采樣點(diǎn),，經(jīng)過(guò)FFT之后，就可以得到N個(gè)點(diǎn)的FFT結(jié)果,。為了方便進(jìn)行FFT運(yùn)算,，通常N取2的整數(shù)次方。

假設(shè)采樣頻率為Fs,，信號(hào)頻率F,，采樣點(diǎn)數(shù)為N。那么FFT之后結(jié)果就是一個(gè)為N點(diǎn)的復(fù)數(shù),。每一個(gè)點(diǎn)就對(duì)應(yīng)著一個(gè)頻率點(diǎn),。這個(gè)點(diǎn)的模值，就是該頻率值下的幅度特性,。具體跟原始信號(hào)的幅度有什么關(guān)系呢,？假設(shè)原始信號(hào)的峰值為A，那么FFT的結(jié)果的每個(gè)點(diǎn)（除了第一個(gè)點(diǎn)直流分量之外）的模值就是A的N/2倍,。而第一個(gè)點(diǎn)就是直流分量,，它的模值就是直流分量的N倍。而每個(gè)點(diǎn)的相位呢,，就是在該頻率下的信號(hào)的相位,。第一個(gè)點(diǎn)表示直流分量（即0Hz），而最后一個(gè)點(diǎn)N的再下一個(gè)點(diǎn)（實(shí)際上這個(gè)點(diǎn)是不存在的,，這里是假設(shè)的第N 1個(gè)點(diǎn),，也可以看做是將第一個(gè)點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率Fs,，這中間被N-1個(gè)點(diǎn)平均分成N等份,，每個(gè)點(diǎn)的頻率依次增加,。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N,。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N,，如果采樣頻率Fs為1024Hz,，采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz,。1024Hz的采樣率采樣1024點(diǎn),，剛好是1秒，也就是說(shuō),，采樣1秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT,，則結(jié)果可以分析到1Hz，如果采樣2秒時(shí)間的信號(hào)并做FFT,，則結(jié)果可以分析到0.5Hz,。如果要提高頻率分辨力,，則必須增加采樣點(diǎn)數(shù)，也即采樣時(shí)間,。頻率分辨率和采樣時(shí)間是倒數(shù)關(guān)系,。

假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a bi表示，那么這個(gè)復(fù)數(shù)的模就是An=根號(hào)a*a b*b,，相位就是Pn=atan2(b,a),。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以計(jì)算出n點(diǎn)（n≠1,，且n<=N/2）對(duì)應(yīng)的信號(hào)的表達(dá)式為：An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t Pn),，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t Pn)。對(duì)于n=1點(diǎn)的信號(hào),，是直流分量,，幅度即為A1/N。由于FFT結(jié)果的對(duì)稱性,，通常我們只使用前半部分的結(jié)果,，即小于采樣頻率一半的結(jié)果。

下面以一個(gè)實(shí)際的信號(hào)來(lái)做說(shuō)明,。假設(shè)我們有一個(gè)信號(hào),，它含有2V的直流分量，頻率為50Hz,、相位為-30度,、幅度為3V的交流信號(hào)，以及一個(gè)頻率為75Hz,、相位為90度,、幅度為1.5V的交流信號(hào)。用數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：S=2 3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180) 1.5*cos(2*pi*75*t pi*90/180),。式中cos參數(shù)為弧度,，所以-30度和90度要分別換算成弧度。我們以256Hz的采樣率對(duì)這個(gè)信號(hào)進(jìn)行采樣,，總共采樣256點(diǎn),。按照我們上面的分析，F(xiàn)n=(n-1)*Fs/N,，我們可以知道,，每?jī)蓚€(gè)點(diǎn)之間的間距就是1Hz，第n個(gè)點(diǎn)的頻率就是n-1,。我們的信號(hào)有3個(gè)頻率：0Hz,、50Hz、75Hz,，應(yīng)該分別在第1個(gè)點(diǎn),、第51個(gè)點(diǎn),、第76個(gè)點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0,。實(shí)際情況如何呢,？我們來(lái)看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。

從圖中我們可以看到,，在第1點(diǎn),、第51點(diǎn)、和第76點(diǎn)附近有比較大的值,。我們分別將這三個(gè)點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來(lái)細(xì)看：

1點(diǎn)： 512 0i

2點(diǎn)： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i

3點(diǎn)： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50點(diǎn)：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i

51點(diǎn)：332.55 - 192i

52點(diǎn)：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

75點(diǎn)：-2.2199E-13 -1.0076E-12i

76點(diǎn)：3.4315E-12 192i

77點(diǎn)：-3.0263E-14 7.5609E-13i

很明顯,，1點(diǎn)、51點(diǎn),、76點(diǎn)的值都比較大,，它附近的點(diǎn)值都很小，可以認(rèn)為是0,，即在那些頻率點(diǎn)上的信號(hào)幅度為0,。接著，我們來(lái)計(jì)算各點(diǎn)的幅度值,。分別計(jì)算這三個(gè)點(diǎn)的模值,，結(jié)果如下：

1點(diǎn)： 512

51點(diǎn)：384

76點(diǎn)：192

按照公式，可以計(jì)算出直流分量為：512/N=512/256=2,；50Hz信號(hào)的幅度為：384/(N/2)=384/(256/2)=3,；75Hz信號(hào)的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5?？梢?，從頻譜分析出來(lái)的幅度是正確的。

然后再來(lái)計(jì)算相位信息,。直流信號(hào)沒(méi)有相位可言,，不用管它。先計(jì)算50Hz信號(hào)的相位,，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,結(jié)果是弧度,，換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計(jì)算75Hz信號(hào)的相位,，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002,?？梢姡辔灰彩菍?duì)的,。根據(jù)FFT結(jié)果以及上面的分析計(jì)算,，我們就可以寫出信號(hào)的表達(dá)式了,，它就是我們開始提供的信號(hào)。

總結(jié)：假設(shè)采樣頻率為Fs,，采樣點(diǎn)數(shù)為N,，做FFT之后，某一點(diǎn)n（n從1開始）表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N,；該點(diǎn)的模值除以N/2就是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的幅度（對(duì)于直流信號(hào)是除以N）,；該點(diǎn)的相位即是對(duì)應(yīng)該頻率下的信號(hào)的相位。相位的計(jì)算可用函數(shù)atan2(b,a)計(jì)算,。atan2(b,a)是求坐標(biāo)為(a,b)點(diǎn)的角度值,，范圍從-pi到pi。要精確到xHz,，則需要采樣長(zhǎng)度為1/x秒的信號(hào),，并做FFT。要提高頻率分辨率,，就需要增加采樣點(diǎn)數(shù),，這在一些實(shí)際的應(yīng)用中是不現(xiàn)實(shí)的，需要在較短的時(shí)間內(nèi)完成分析,。解決這個(gè)問(wèn)題的方法有頻率細(xì)分法,，比較簡(jiǎn)單的方法是采樣比較短時(shí)間的信號(hào)，然后在后面補(bǔ)充一定數(shù)量的0,，使其長(zhǎng)度達(dá)到需要的點(diǎn)數(shù),，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力,。具體的頻率細(xì)分法可參考相關(guān)文獻(xiàn),。