復變函數(shù)中，e^(ix)=(cos x isin x)稱為歐拉公式,，e是自然對數(shù)的底,，i是虛數(shù)單位。

拓撲學中,，在任何一個規(guī)則球面地圖上,，用R記區(qū)域個數(shù)，V記頂點個數(shù),，E記邊界個數(shù),，則R V-E=2,，這就是歐拉定理，它于1640年由Descartes首先給出證明,，后來Euler(歐拉)于1752年又獨立地給出證明,，我們稱其為歐拉定理，在國外也有人稱其為Descartes定理,。

復變函數(shù)

把復指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來的一個公式,，，e是自然對數(shù)的底,，i是虛數(shù)單位,。它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關系,，它不僅出現(xiàn)在數(shù)學分析里,，而且在復變函數(shù)論里也占有非常重要的地位，更被譽為“數(shù)學中的天橋”,。

拓撲學

拓撲學又稱“連續(xù)幾何學”,。

幾何學的一門分科。研究幾何圖形經(jīng)過連續(xù)形變后仍能保持的性質,。包括點集拓撲,、代數(shù)拓撲、微分拓撲等分支,。

在代數(shù)拓撲中,，歐拉示性數(shù)（Euler characteristic）是一個拓撲不變量（事實上，是同倫不變量）,，對于一大類拓撲空間有定義,。它通常記作。

二維拓撲多面體的歐拉示性數(shù)可以用以下公式計算：

其中V,、E和F分別是點,、邊和面的個數(shù)。 特別的有,，對于所有和一個球面同胚的多面體,，我們有

拓撲學中歐拉公式的證明

用數(shù)學歸納法證明

(1)當R=2時，由說明1,這兩個區(qū)域可想象為以赤道為邊界的兩個半球面,，赤道上有兩個“頂點”將赤道分成兩條“邊界”,，即 R= 2，V= 2,，E= 2,；于是 R V- E= 2,歐拉定理成立.。

(2)設R=m(m≥2)時歐拉定理成立，下面證明R=m 1時歐拉定理也成立,。

由說明2,，我們在R=m 1的地圖上任選一個區(qū)域X，則X必有與它如此相鄰的區(qū)域Y,，使得在去掉X和Y之間的唯一一條邊界后,，地圖上只有m個區(qū)域了；在去掉X和Y之間的邊界后,，若原該邊界兩端的頂點現(xiàn)在都還是3條或3條以上邊界的頂點,，則該頂點保留，同時其他的邊界數(shù)不變;若原該邊界一端或兩端的頂點現(xiàn)在成為2條邊界的頂點,，則去掉該頂點,，該頂點兩邊的兩條邊界便成為一條邊界。于是,，在去掉X和Y之間的唯一一條邊界時只有三種情況：

①減少一個區(qū)域和一條邊界,；

②減少一個區(qū)域、一個頂點和兩條邊界,；

③減少一個區(qū)域、兩個頂點和三條邊界,；

即在去掉X和Y之間的邊界時,，不論何種情況都必定有“減少的區(qū)域數(shù) 減少的頂點數(shù)=減少的邊界數(shù)”我們將上述過程反過來(即將X和Y之間去掉的邊界又照原樣畫上)，就又成為R= m 1的地圖了,，在這一過程中必然是“增加的區(qū)域數(shù) 增加的頂點數(shù) = 增加的邊界數(shù)”,。

因此 ，若 R= m (m≥2)時歐拉定理成立 ,，則 R= m 1時歐拉定理也成立.,。

由(1)和(2)可知，對于任何正整數(shù)R≥2,歐拉定理成立,。

柯西的證明

第一個歐拉公式的嚴格證明,，由20歲的柯西給出，大致如下：

從多面體去掉一面,，通過把去掉的面的邊互相拉遠,，把所有剩下的面變成點和曲線的平面網(wǎng)絡。不失一般性,，可以假設變形的邊繼續(xù)保持為直線段,。正常的面不再是正常的多邊形即使開始的時候它們是正常的。但是,，點,，邊和面的個數(shù)保持不變，和給定多面體的一樣(移去的面對應網(wǎng)絡的外部。)

重復一系列可以簡化網(wǎng)絡卻不改變其歐拉數(shù)（也是歐拉示性數(shù)）的額外變換,。

若有一個多邊形面有3條邊以上,，我們劃一個對角線。這增加一條邊和一個面,。繼續(xù)增加邊直到所有面都是三角形,。

除掉只有一條邊和外部相鄰的三角形。這把邊和面的個數(shù)各減一而保持頂點數(shù)不變,。

（逐個）除去所有和網(wǎng)絡外部共享兩條邊的三角形,。這會減少一個頂點、兩條邊和一個面,。

重復使用第2步和第3步直到只剩一個三角形,。對于一個三角形（把外部數(shù)在內(nèi)），,。所以,。

推理證明

設想這個多面體是先有一個面，然后將其他各面一個接一個地添裝上去的.因為一共有F個面,，因此要添(F-1)個面.

考察第Ⅰ個面,，設它是n邊形，有n個頂點,，n條邊,，這時E=V，即棱數(shù)等于頂點數(shù).

添上第Ⅱ個面后,，因為一條棱與原來的棱重合,，而且有兩個頂點和第Ⅰ個面的兩個頂點重合，所以增加的棱數(shù)比增加的頂點數(shù)多1,，因此,，這時E=V 1.

以后每增添一個面，總是增加的棱數(shù)比增加的頂點數(shù)多1,，例如

增添兩個面后,，有關系E=V 2;

增添三個面后，有關系E=V 3;

……

增添(F-2)個面后,，有關系E=V (F-2).

最后增添一個面后,，就成為多面體，這時棱數(shù)和頂點數(shù)都沒有增加.因此,，關系式仍為E=V (F-2).即

F V=E 2.

這個公式叫做歐拉公式.它表明2這個數(shù)是簡單多面體表面在連續(xù)變形下不變的數(shù),。

分式

當r=0或1時式子的值為0，當r=2時值為1,，當r=3時值為a b c,。

平面幾何

設△ABC的外心為O，內(nèi)心為I，外接圓半徑為R,，內(nèi)切圓半徑為r,，又記外心、內(nèi)心的距離OI為d,，則有

（1）式稱為歐拉公式,。

為了證明（1）式，我們現(xiàn)將它改成

（2）式左邊是點I對于⊙O的冪：過圓內(nèi)任一點P的弦被P分成兩個部分,，這兩個部分的乘積是一個定值,，稱為P關于⊙O的冪。事實上,，如果將OI延長交圓于E,、F，那么

因此,，設AI交⊙O于M,，則

因此，只需證明

或寫成比例式

為了證明（5）式,，應當尋找兩個相似的三角形,。一個以長IA、r為邊,；另一個以長2R,、MI為邊。前一個不難找,，△IDA就是，D是內(nèi)切圓與AC的切點,。后一個也必須是直角三角形,，所以一邊是直徑ML，另一個頂點也應當在圓上,?！鱉BL就滿足要求。

容易證明

因此（5）式成立,，從而（1）式成立,。

因為，所以由歐拉公式得出一個副產(chǎn)品,，即

統(tǒng)計學

特征函數(shù)用歐拉公式：隨機變量X的特征函數(shù)定義為

物理學

眾所周知,，生活中處處存在著摩擦力，歐拉測算出了摩擦力與繩索纏繞在樁上圈數(shù)之間的關系?，F(xiàn)將歐拉這個頗有價值的公式列在這里：

其中,，f表示我們施加的力，F(xiàn)表示與其對抗的力，e為自然對數(shù)的底,，k表示繩與樁之間的摩擦系數(shù),，a表示纏繞轉角，即繩索纏繞形成的弧長與弧半徑之比,。

圖論

設G為n階m條邊r個面的連通平面圖,，則n-m r=2，此公式稱為歐拉公式,?？梢酝ㄟ^歸納法證明，且證明方法和拓撲學中的類似,，此處略去,。盡管和拓撲中的歐拉公式十分相似，但圖論在現(xiàn)代一般劃分在離散數(shù)學的研究范疇內(nèi),，因此在這里單獨列出,。