人物簡介

朱世杰“以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年”,，“踵門而學(xué)者云集”(莫若,、祖頤：《四元玉鑒》后序）。

宋元時期，中國數(shù)學(xué)鼎盛時期中杰出的數(shù)學(xué)家有“秦九韶,、李冶,、楊輝、朱世杰四大家”,，朱世杰就是其中之一,。朱世杰是一位平民數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。朱世杰平生勤力研習(xí)《九章算術(shù)》,，旁通其它各種算法,，成為元代著名數(shù)學(xué)家。

生平經(jīng)歷

元統(tǒng)一中國后,，朱世杰曾以數(shù)學(xué)家的身份周游各地20余年,，向他求學(xué)的人很多,，他到廣陵(今揚州)時“踵門而學(xué)者云集”,。他全面繼承了前人數(shù)學(xué)成果，既吸收了北方的天元術(shù),，又吸收了南方的正負(fù)開方術(shù),、各種日用算法及通俗歌訣，在此基礎(chǔ)上進行了創(chuàng)造性的研究,，寫成以總結(jié)和普及當(dāng)時各種數(shù)學(xué)知識為宗旨的《算學(xué)啟蒙》(3卷),，又寫成四元術(shù)的代表作--《四元玉鑒》(3卷)，先后于：1299年和1303年刊?。端銓W(xué)啟蒙》由淺入深,，從一位數(shù)乘法開始，一直講到當(dāng)時的最新數(shù)學(xué)成果――天元術(shù),，形成一個完整體系,。

書中明確提出正負(fù)數(shù)乘法法則，給出倒數(shù)的概念和基本性質(zhì),，概括出若干新的乘法公式和根式運算法則,，總結(jié)了若干乘除捷算口訣，并把設(shè)輔助未知數(shù)的方法用于解線性方程組．《四元玉鑒》的主要內(nèi)容是四元術(shù),，即多元高次方程組的建立和求解方法．秦九韶的高次方程數(shù)值解法和李冶的天元術(shù)都被包含在內(nèi)．

在宋元時期的數(shù)學(xué)群英中,，朱世杰的工作具有特殊重要的意義．如果把諸多數(shù)學(xué)家比作群山，則朱世杰是最高大,、最雄偉的山峰．站在朱世杰數(shù)學(xué)思想的高度俯嫩傳統(tǒng)數(shù)學(xué),，會有"一覽眾山小"之感．來世杰工作的意義就在于總結(jié)了宋元數(shù)學(xué)，使之在理論上達(dá)到新的高度．這主要表現(xiàn)在以下三個領(lǐng)域．首先是方程理論．在列方程方面,，蔣周的演段法為天元術(shù)作了準(zhǔn)備工作,，他已具有尋找等值多項式的思想，洞淵馬與信道是天元術(shù)的先驅(qū)，但他們推導(dǎo)方程仍受幾何思維的束縛,，李冶基本上擺脫了這種束縛,，總結(jié)出一套固定的天元術(shù)程序，使天元術(shù)進入成熟階段．在解方程方面,，賈憲給出增乘開方法,，劉益則用正負(fù)開方術(shù)求出四次方程正根，秦九韶在此基礎(chǔ)上解決了高次方程的數(shù)值解法問題．至此,，一元高次方程的建立和求解都已實現(xiàn)．而線性方程組古已有之,，所以具備了多元高次方程組產(chǎn)生的條件．李德載的二元術(shù)和劉大鑒的三元術(shù)相繼出現(xiàn)，朱世杰的四元術(shù)正是對二元術(shù),、三元術(shù)的總結(jié)與提高．由于四元已把常數(shù)項的上下左右占滿,，方程理論發(fā)展到這里，顯然就告一段落了．從方程種類看,，天元術(shù)產(chǎn)生之前的方程都是整式方程,。

從洞淵到李冶，分式方程逐漸得到發(fā)展．而朱世杰,，則突破了有理式的限制,，開始處理無理方程．其次是高階等差級數(shù)的研究．沈括的隙積術(shù)開研究高階等差級數(shù)之先河，楊輝給出包括隙積術(shù)在內(nèi)的一系列二階等差級數(shù)求和公式．朱世杰則在此基礎(chǔ)上依次研究了二階,、三階,、四階乃至五階等差級數(shù)的求和問題，從而發(fā)現(xiàn)其規(guī)律,，掌握了三角垛統(tǒng)一公式．他還發(fā)現(xiàn)了垛積術(shù)與內(nèi)插法的內(nèi)在聯(lián)系,，利用垛積公式給出規(guī)范的四次內(nèi)插公式．第三是幾何學(xué)的研究．宋代以前，幾何研究離不開勾股和面積,、體積．蔣周的《益古集》也是以面積問題為研究對象的．李冶開始注意到圓城因式中各元素的關(guān)系,，得到一些定理，但未能推廣到更一般的情形．朱世杰不僅總結(jié)了前人的勾股及求積理論,，而且在李冶思想的基礎(chǔ)上更進一步,，深入研究了勾股形內(nèi)及圓內(nèi)各幾何元素的數(shù)量關(guān)系，發(fā)現(xiàn)了兩個重要定理--射影定理和弦冪定理．他在立體幾何中也開始注意到圖形內(nèi)各元素的關(guān)系．朱世杰的工作,，使得幾何研究的對象由圖形整體深入到圖形內(nèi)部,，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的進步。

相關(guān)著述

朱世杰長期從事數(shù)學(xué)研究和教育事業(yè),，以數(shù)學(xué)名家周游各地20多年,，四方登門來學(xué)習(xí)的人很多。朱世杰數(shù)學(xué)代表作有《算學(xué)啟蒙》（1299）和《四元玉鑒》（1303）,?！端銓W(xué)啟蒙》是一部通俗數(shù)學(xué)名著,，曾流傳海外，影響了朝鮮,、日本數(shù)學(xué)的發(fā)展,。《四元玉鑒》則是中國宋元數(shù)學(xué)高峰的又一個標(biāo)志,，其中最杰出的數(shù)學(xué)創(chuàng)作有“四元術(shù)”（多元高次方程列式與消元解法）,、“垛積法”（高階等差數(shù)列求和）與“招差術(shù)”（高次內(nèi)插法）。

朱世杰在數(shù)學(xué)科學(xué)上,，全面地繼承了秦九韶,、李冶、楊輝的數(shù)學(xué)成就,，并給予創(chuàng)造性的發(fā)展,，寫出了《算學(xué)啟蒙》、《四元玉鑒》等著名作品,，把我國古代數(shù)學(xué)推向更高的境界,，形成宋元時期中國數(shù)學(xué)的最高峰?！端銓W(xué)啟蒙》是朱世杰在元成宗大德三年（1299）刊印的,，全書共三卷,，20門,，總計259個問題和相應(yīng)的解答。這部書從乘除運算起,，一直講到當(dāng)時數(shù)學(xué)發(fā)展的最高成就“天元術(shù)”,，全面介紹了當(dāng)時數(shù)學(xué)所包含的各方面內(nèi)容。

它的體系完整,，內(nèi)容深入淺出,，通俗易懂，是一部很著名的啟蒙讀物,。這部著作后來流傳到朝鮮,、日本等國，出版過翻刻本和注釋本,，產(chǎn)生過一定的影響,。而《四元玉鑒》更是一部成就輝煌的數(shù)學(xué)名著。它受到近代數(shù)學(xué)史研究者的高度評價,，認(rèn)為是中國古代數(shù)學(xué)科學(xué)著作中最重要的,、最有貢獻(xiàn)的一部數(shù)學(xué)名著?！端脑耔b》成書于大德七年（1303）,，共三卷，24門，288問,，介紹了朱世杰在多元高次方程組的解法——四元術(shù),，以及高階等差級數(shù)的計算——垛積術(shù)、招差術(shù)等方面的研究和成果,。

“天元術(shù)”是設(shè)“天元為某某”,，即某某為x。但當(dāng)未知數(shù)不止一個的時候,，除設(shè)未知數(shù)天元（x）外,，還需設(shè)地元（y）、人元（z）及物元（u）,，再列出二元,、三元甚至四元的高次聯(lián)方程組，然后求解,。這在歐洲,，解聯(lián)立一次方程開始于16世紀(jì)，關(guān)于多元高次聯(lián)立方程的研究還是18至19世紀(jì)的事了,。朱世杰的另一重大貢獻(xiàn)是對于“垛積術(shù)”的研究,。他對于一系列新的垛形的級數(shù)求和問題作了研究，從中歸納為“三角垛”的公式,，實際上得到了這一類任意高階等差級數(shù)求和問題的系統(tǒng),、普遍的解法。朱世杰還把三角垛公式引用到“招差術(shù)”中,，指出招差公式中的系數(shù)恰好依次是各三角垛的積,，這樣就得到了包含有四次差的招差公式。

他還把這個招差公式推廣為包含任意高次差的招差公式,，這在世界數(shù)學(xué)史上是第一次,，比歐洲牛頓的同樣成就要早近4個世紀(jì)。正因為如此,，朱世杰和他的著作《四元玉鑒》才享有巨大的國際聲譽,。近代日本、法國,、美國,、比利時以及亞、歐,、美許多國家都有人向本國介紹《四元玉鑒》,。美國已故的著名的科學(xué)史家薩頓是這樣評說朱世杰的：“（朱世杰）是中華民族的、他所生活的時代的,、同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)科學(xué)家,?！薄啊端脑耔b》是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的，同時也是中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一,。它是世界數(shù)學(xué)寶庫中不可多得的瑰寶,。”從此中可以看出,，宋元時期的科學(xué)家及其著作,，在世界數(shù)學(xué)史上起到了不可估量的作用。

貢獻(xiàn)影響

朱世杰的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了一套完整的消未知數(shù)方法,，稱為四元消法．這種方法在世界上長期處于領(lǐng)先地位,，直到18世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家貝祖(Bezout)提出一般的高次方程組解法,，才超過朱世杰,。除了四元術(shù)以外，《四元玉鑒》中還有兩項重要成就,，即創(chuàng)立了一般的高階等差級數(shù)求和公式及等間距四次內(nèi)插法公式,，后者通常稱為招差術(shù)．此書代表著宋元數(shù)學(xué)的最高水平，美國科學(xué)史家薩頓(G．Sarton)稱贊它“是中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部,，同時也是中世紀(jì)的杰出數(shù)學(xué)著作之一”,。朱世杰處于中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)發(fā)展的鼎盛時期，當(dāng)時社會上“尊崇算學(xué),，科目漸興”,，數(shù)學(xué)著作廣為傳播。

對多元高次方程組解法,、高階等差級數(shù)求和,，高次內(nèi)插法都有深入研究，他著有《算學(xué)啟蒙》(1299年),、《四元玉鑒》(1303年)各3卷，在后者中討論了多達(dá)四元的高次聯(lián)立方程組解法,，聯(lián)系在一起的多項式的表達(dá)和運算以及消去法,，已接近近世代數(shù)學(xué)，處于世界領(lǐng)先地位,，他通曉高次招差法公式,，比西方早四百年，中外數(shù)學(xué)史家都高度評價朱世杰和他的名著《四元玉鑒》,。

從天元術(shù)推廣到二元,、三元和四元的高次聯(lián)立方程組，是宋元數(shù)學(xué)家的又一項杰出的創(chuàng)造,。留傳至今,，并對這一杰出創(chuàng)造進行系統(tǒng)論述的是朱世杰的《四元玉鑒》,。《四元玉鑒》成書于1303年,。全書共3卷,，24門，288問,，主要論述高次方程組的解法（這也是朱世杰的最大貢獻(xiàn)）,、高階等差級數(shù)求和以及高次內(nèi)插法等內(nèi)容。是流傳至今且對四元術(shù)進行系統(tǒng)論述的重要代表作,。

在天元術(shù)的基礎(chǔ)上,，朱世杰建立了“四元高次方程理論”，他把常數(shù)項放在中央（即“太”）,，然后“立天元一于下,，地元一于左，人元一于右,，物元一于上”,，“天、地,、人,、物”這四“元”代表未知數(shù)，(即相當(dāng)于如今的x,、y,、z、w,，)四元的各次冪放在上,、下、左,、右四個方向上,，其它各項放在四個象限中。如果用現(xiàn)代的x,、y,、z、w表示天,、地,、人、物,，那我們可以把朱世杰列高次多元方程的方法表示：而上面的兩個圖形“四元一次籌式”與“四元二次籌式”所表示的方程分別為：x+y+z+w=0

用上述方法列出四元高次方程后,，再聯(lián)立方程組進行解方程組，方法是用消元方法解答,先擇一元為未知數(shù),，其它元組成的多項式作為這未知數(shù)的系數(shù),，然后把四元四式消去一元,，變成三元三式，再消去一元變二元二式,，再消去一元,，就得到只含一元的天元開方式，然后用增乘開方法求得正根,。這是線性方法組解法的重大發(fā)展,，在西方，較有系統(tǒng)地研究多元方程組要等到16世紀(jì),。高階等差級數(shù)求和與高次內(nèi)插法也是《四元玉鑒》的重要內(nèi)容,。由許多求和問題中的一系列三角垛公式可歸納得公式。朱世杰給出了上式中當(dāng)p=1,，2,，……6時的公式。此外,，還有其它高階等差級數(shù)求和公式,。在招差法方面，朱世杰相當(dāng)于給出了招差公式,，這比西方要早400多年,。

美國著名的科學(xué)史家薩頓評論說：“朱世杰是他所生存時代的，同時也是貫穿古今的一位最杰出的數(shù)學(xué)家”,，《四元玉鑒》是“中國數(shù)學(xué)著作中最重要的一部,，同時也是整個中世紀(jì)最杰出的數(shù)學(xué)著作之一?！敝焓澜懿粌H是一名杰出的數(shù)學(xué)家,，他還是一位數(shù)學(xué)教育家，曾周游四方各地,，教授生徒20余年,。并親自編著數(shù)學(xué)入門書，稱為《算學(xué)啟蒙》,。在《算學(xué)啟蒙》卷下中,，朱世杰提出已知勾弦和、股弦和求解勾股形的方法,，補充了《九章算術(shù)》的不足。

人物評價

“燕山朱松庭先生”,，是元朝時代的一位杰出的數(shù)學(xué)家,。所寫的《四元玉鑒》和《算學(xué)啟蒙》，是中國古代數(shù)學(xué)發(fā)展進程中的一個重要的里程碑,，是中國古代數(shù)學(xué)的一份寶貴的遺產(chǎn),。13世紀(jì)中葉,，朱世杰除了接受北方的數(shù)學(xué)成就之外，他也吸收了南方的數(shù)學(xué)成就,，尤其是各種日用算法,、商用算術(shù)和通俗化的歌訣等等。

朱世杰曾“周游四方”,，莫若（古代數(shù)學(xué)家）序中有“燕山松庭朱先生以數(shù)學(xué)名家周游湖海二十余年矣,。四方之來學(xué)者日眾，先生遂發(fā)明《九章》之妙,，以淑后圖學(xué),，為書三卷……名曰《四元玉鑒》”，祖頤后序中亦有“漢卿名世杰,，松庭其自號也,。周流四方，復(fù)游廣陵,，踵門而學(xué)者云集”,。經(jīng)過長期的游學(xué)、講學(xué)等活動,，終于在1299年和1303年,，在揚州，刊刻了他的兩部數(shù)學(xué)杰作——《算學(xué)啟蒙》和《四元玉鑒》,。楊輝書中的歸除歌訣在朱世杰所著《算學(xué)啟蒙》中有了進一步的發(fā)展,。

清羅士琳認(rèn)為：“漢卿在宋元間，與秦道古（即秦九韶）,、李仁卿可稱鼎足而三,。道古正負(fù)開方，漢卿天元如積皆足上下千古,，漢卿又兼包眾有,，充類盡量，神而明之,，尤超越乎秦,、李之上”。清代數(shù)學(xué)家王鑒也說：“朱松庭先生兼秦,、李之所長,，成一家之著作”。朱世杰全面繼承了并創(chuàng)造性地發(fā)揚了天元術(shù),、正負(fù)開方法等秦,、李書中所載的數(shù)學(xué)成就之外，還囊括了楊輝書中的日用,、商用,、歸除歌訣之類與當(dāng)時社會生活密切相關(guān)的各種算法,，并作了新的發(fā)展。